y=x в квадрате -x+3

Задача: y = x^2 - x + 3 (то есть y = x в квадрате минус x плюс 3).

Разбор по шагам (для общего подхода средней школы):

1. Основные свойства

• Область определения: все вещественные числа.
• Коэффициент при x^2 положительный (a = 1), значит график — парабола, которая открывается вверх.

2. Вершина параболы

• Формула для координаты x вершины: x_v = -b/(2a). Здесь a = 1, b = -1, поэтому x_v = -(-1)/(2·1) = 1/2.
• Значение функции в вершине: y_v = f(1/2) = (1/2)^2 - (1/2) + 3 = 1/4 - 1/2 + 3 = 1/4 - 2/4 + 12/4 = 11/4.
• Следовательно вершина параболы: (1/2, 11/4). Так как парабола вверх, это минимальная точка.

3. Вершинная форма (для наглядности)

• Выпишем как квадрат: x^2 - x = (x - 1/2)^2 - 1/4.
• Значит y = x^2 - x + 3 = (x - 1/2)^2 - 1/4 + 3 = (x - 1/2)^2 + 11/4.
• Это явно показывает, что минимальное значение y равно 11/4, достигается при x = 1/2.

4. Диапазон значений

• Так как парабола открывается вверх и минимум равен 11/4, область значений: y ∈ [11/4, +∞).

5. Корни уравнения f(x) = 0 (пересечение с осью OX)

• Решаем x^2 - x + 3 = 0. Дискриминант Δ = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4·1·3 = 1 - 12 = -11 < 0.
• Значит действительных корней нет; график не пересекает ось Ox.

6. Примеры контрольных точек

• f(0) = 0^2 - 0 + 3 = 3
• f(1) = 1^2 - 1 + 3 = 3
• f(2) = 4 - 2 + 3 = 5

7. Дополнительная проверка скорости роста

• Производная: f'(x) = 2x - 1. Она равна нулю при x = 1/2; слева от 1/2 убывает, справа возрастает, что согласуется с минимумом в вершине.

Итог

• y = x^2 - x + 3 — парабола, открывающая вверх.
• Вершина: (1/2, 11/4). Минимум: 11/4.
• Диапазон значений: [11/4, ∞).
• Корни уравнения y = 0 отсутствуют (нет реальных корней).

Если нужно, могу построить график или разобрать задание под конкретный уровень класса.