F(x)=√x²-1

Есть двусмысленность в записи f(x)=√x²-1. Рассмотрю оба варианта и дам подробное решение по каждому. Скажи, какой именно ты подразумеваешь. Вариант A: f(x) = sqrt(x^2) - 1 = |x| - 1 - Шаг 1. Приведение к простому выражению f(x) = |x| - 1. - Шаг 2. Область определения Все действительные x, т.к. модуль определён для любого x. - Шаг 3. Производная и монотонность - Для x < 0: f(x) = -x - 1, поэтому f'(x) = -1. - Для x > 0: f(x) = x - 1, поэтому f'(x) = 1. - В точке x = 0 производная не существует (разрыв наклона). Вывод по монотонности: функция убывает на (-∞, 0], возрастает на [0, ∞). - Шаг 4. График и основная информация - Вершина (контур) у нас не «вершина» в обычном смысле, но точки минимума достигаются в x = 0: y_min = -1. - Функция симметрична относительно оси y (even): f(-x) = f(x). - График имеет V-образную форму, смещённую вниз на 1. - Шаг 5. Диапазон значений y ≥ -1. - Шаг 6. Пересечения с осями - y-пересечение: при x = 0 получаем y = -1, т.е. точка (0, -1). - x-пересечения: решаем |x| - 1 = 0 → x = ±1, точки (1, 0) и (-1, 0). - Кратко: это V-образная графика, вершина в (0, -1), ось симметрии y, диапазон y ≥ -1. Вариант B: f(x) = sqrt(x^2 - 1) - Шаг 1. Область определения Требуется x^2 - 1 ≥ 0 → x ≤ -1 или x ≥ 1. - Шаг 2. Стоит ли график на обеих ветвях? Да, функция даже: f(-x) = f(x). - Шаг 3. Значения и пересечения - При x = ±1 имеем f(±1) = sqrt(1 - 1) = 0 → точки пересечения с осью x: (−1, 0) и (1, 0). - y-пересечения нет (для любой x из области значения не дают y ≈ 0 кроме указанных точек). - Шаг 4. Монотонность - Производная: f'(x) = x / sqrt(x^2 - 1), определена при |x| > 1. - Для x > 1: f'(x) > 0 ⇒ функция возрастает на [1, ∞). - Для x < -1: f'(x) < 0 ⇒ функция убывает на (-∞, -1]. - Шаг 5. График и общая картина - Две ветви: левая ветвь для x ≤ -1 и правая ветвь для x ≥ 1. - Значение y всегда ≥ 0, обе ветви сходятся к оси x только в точках x = ±1. - График симметричен относительно оси y. - Шаг 6. Диапазон значений y ≥ 0. - Шаг 7. Поведение на бесконечности При |x| → ∞ f(x) ≈ |x|, то есть ветви растут приблизительно как модуль x. Можно сказать, что асимптот к линиям y = x (для x → ∞) и y = -x (для x → −∞) не линейных траекторий, но поведение близко к абсолютной величине: f(x) ~ |x|. Какую из двух интерпретаций ты хочешь разобрать более подробно? Я могу продолжить с тем вариантом, который нужно для твоей задачи, и дополнительно привести графики, примеры подстановок или ещё детали (например, как взятьInverse, если потребуется).