докажи свойство диагоналей у параллелограмма
Задача: доказать свойство диагоналей у параллелограмма.
Сформулируем цель: показать, что в любом параллелограмме диагонали AC и BD пересекаются в одной точке O и делят друг друга пополам: AO = OC и BO = OD.
Пусть ABCD – параллелограмм (AB ∥ CD и AD ∥ BC), а диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
Пошаговое доказательство:
Заметим, что A, O, C лежат на одной прямой (диагональ AC), поэтому AO ∥ CO. Аналогично B, O, D лежат на одной прямой (диагональ BD), поэтому BO ∥ DO.
Так как AB ∥ CD, углы, образованные AB с BO и CD с DO, равны: ∠ABO = ∠CDO. Также из того же факта параллельности AB ∥ CD и того, что AO ∥ CO, следует ∠AOB = ∠COD. Таким образом triangles AOB и COD равны по признаку AA (углы равны).
В соответствие между треугольниками AOB и COD:
- AO ↔ CO
- OB ↔ OD
- AB ↔ CD
Из подобия треугольников AOB и COD получаем AO/CO = OB/OD = AB/CD.
В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD. Значит AB/CD = 1.
Отсюда AO/CO = 1 и BO/OD = 1, следовательно AO = CO и BO = OD.
Итог: Диагонали диагонали параллелограмма пересекаются и делят друг друга пополам. То есть AO = OC и BO = OD.
Дополнительный вариант понимания (для закрепления): можно привести координатное доказательство. Если рассмотреть параллелограмм с A в начале координат, а вектора AB и AD как векторы, то C = B + D. Тогда середина диагонали AC равна (A + C)/2 = (0 + (B + D))/2 = (B + D)/2, а середина диагонали BD равна (B + D)/2. Эти две точки совпадают, следовательно diagonals пересекаются в их общей средней точке, то есть делят друг друга пополам. Это тоже доказывает тот же факт.
