a⁵+a³+2a²+2

Задача: a^5 + a^3 + 2a^2 + 2

Цель: помочь понять, как привести выражение к факторизованному виду и проверить решение.

Пошаговое решение

1. Применим способ группировки: a^5 + a^3 + 2a^2 + 2 можно разбить на две группы по две пары: (a^5 + a^3) и (2a^2 + 2).

2. Выделим общий множитель в каждой группе:

• в первой группе: a^5 + a^3 = a^3(a^2 + 1)
• во второй группе: 2a^2 + 2 = 2(a^2 + 1)

3. Объединим общие множители: Обе группы содержат общий множитель (a^2 + 1). Следовательно, a^5 + a^3 + 2a^2 + 2 = (a^2 + 1)(a^3 + 2).

4. Проверка (быстрый контроль): Раскрывая скобки, получим: (a^2 + 1)(a^3 + 2) = a^2·a^3 + a^2·2 + 1·a^3 + 1·2 = a^5 + 2a^2 + a^3 + 2, что совпадает с исходным выражением.

Итак, факторизация над целыми числами: a^5 + a^3 + 2a^2 + 2 = (a^2 + 1)(a^3 + 2)

Дополнительно (для понимания границFactorization)

• С учётом формулы суммы кубов a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 − ab + b^2), можно заметить, что a^3 + 2 можно записать как a^3 + (куб. корень из 2)^3. Тогда полный разложение над иррациональными числами даст: (a^2 + 1)(a + ∛2)(a^2 − a∛2 + ∛4), но над целыми/co-рациональными коэффициентами это разложение в полном виде не даёт дополнительных рациональных факторов. Поэтому корректно считать окончательным факторизацией (a^2 + 1)(a^3 + 2) в рамках школьной алгебры.