Задача Задача №3362687
А
А
( a+b) ³/a³+b³
Задача: (a + b)^3 / (a^3 + b^3)
Цель: понять и разобрать пошагово.
Расклад знаменателя a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - a b + b^2) Это стандартное разложение сумм кубов.
Замечание о сокращении (а+b)^3 можно записать как (a+b)(a+b)^2. Тогда наш выражение станет [(a+b)(a+b)^2] / [(a+b)(a^2 - ab + b^2)].
Можно сократить общий множитель (a+b), но только если он не равен нулю. То есть:
- если a + b ≠ 0, то дробь упрощается до (a+b)^2 / (a^2 - ab + b^2);
- если a + b = 0 (то есть b = -a), исходная дробь имеет вид 0/0 и не определена.
- Итоговое упрощение и условие неопределенности При условии a + b ≠ 0 получаем: ( a + b )^2 / ( a^2 - a b + b^2 )
Важно: для действительных чисел a, b знаменатель a^2 - ab + b^2 > 0 (за исключением случая a = b = 0), поэтому при a + b ≠ 0 дробь определена.
- Несколько проверки на примерах
- Если a = b, то исходная дробь = (2a)^3 / (2a^3) = 8a^3 / (2a^3) = 4. Также по формуле: (a+b)^2/(a^2 - ab + b^2) = (2a)^2 / (a^2 - a^2 + a^2) = 4a^2 / a^2 = 4.
- Если a = 0 или b = 0, например a = 0, то исходная дробь = b^3 / b^3 = 1, а по формуле: (b)^2 / (0 - 0 + b^2) = b^2 / b^2 = 1.
- Если a + b = 0 (b = -a), исходная дробь неопределена (0/0).
Ответ При условии a + b ≠ 0 упрощение даёт: ( a + b )^2 / ( a^2 - a b + b^2 )
И помните: точное значение выражения определено для тех пар (a, b), у которых a + b ≠ 0.
