Дано: параллелограмм ABCD, биссектор угла A пересекает BC в точке K. BK = 15 см, KC = 9 см. Нужно найти периметр ABCD.
- Найдём длину стороны BC и остальные стороны параллелограмма
- BC = AD (прямый признак параллелограмма). BK + KC = BC, значит BC = 15 + 9 = 24 см.
- Следовательно AD = 24 см.
Обозначим AB = x. Тогда CD = AB = x.
Периметр параллелограмма P = 2(AB + BC) = 2(x + 24).
Нужно найти x = AB.
- Используем координатный подход для связи AB и BK
Положим A в начало координат. Пусть AB лежит вдоль оси Ox, поэтому B = (x, 0). Пусть AD имеет длину y = AD = BC = 24 и образует угол φ с AB, так что D = (y cos φ, y sin φ). Тогда C = B + D = (x + y cos φ, y sin φ).
Биссектор угла ∠DAB направлена суммой единичных векторов along AB и along AD, поэтому вектор направления AK пропорционален (1, 0) + (cos φ, sin φ) = (1 + cos φ, sin φ). Значит линия AK имеет вид A + t(1 + cos φ, sin φ).
Точка K лежит на BC, поэтому её можно записать как B + s(C − B) = (x, 0) + s(y cos φ, y sin φ), где 0 ≤ s ≤ 1.
Уравнения пересечения AK и BC:
- t(1 + cos φ) = x + s y cos φ
- t sin φ = s y sin φ
Поскольку φ не равен 0 или π, sin φ ≠ 0, отсюда t = s y. Подставим в первое уравнение:
s y(1 + cos φ) = x + s y cos φ
⇨ s y = x
⇨ s = x / y.
Длина BK равна s, умноженная на длину BC (то есть BK = s·BC = (x / y)·y = x). Таким образом AB = x = BK = 15 см.
- Найдём периметр
- AB = 15 см, BC = AD = 24 см.
- Периметр P = 2(AB + BC) = 2(15 + 24) = 2·39 = 78 см.
Ответ: периметр параллелограмма равен 78 см.
