Тело движется по дуге окружности радиусом 4 м, описывая при этом траекторию, которая представляет собой половину дуги окружности. Первая четверть круга тело движется со скоростью…

Ниже подробное решение задачи.

Дано:

• Радиус траектории R = 4 м.
• Траектория — половина дуги окружности (то есть полурадиусовый сектор длиной πR).
• Первая четверть пути движется со скоростью v1 = 2 м/с.
• Вторая четверть пути движется со скоростью v2 = 8 м/с.

1. Длины участков траектории

• Полная дуга половина окружности соответствует углу π радиан. Разделим на две половины (по четвертям):
  • Длина первой четверти: s1 = R · (π/2) = 4 · (π/2) = 2π м.
  • Длина второй четверти: s2 = R · (π/2) = 2π м.
• Всего путь пройден: S = s1 + s2 = 4π м.

2. Время движения на каждом участке

• Время на первый участок: t1 = s1 / v1 = (2π) / 2 = π секунд.
• Время на второй участок: t2 = s2 / v2 = (2π) / 8 = π/4 секунд.
• Всего время движения: T = t1 + t2 = π + π/4 = 5π/4 секунд.

3. Средняя путевая скорость

• Определение: v_path средняя путевая скорость = суммарный путь / суммарное время.
• Вычисление: v_path = S / T = (4π) / (5π/4) = 16/5 = 3.2 м/с.

4. Средняя векторная скорость

• Средняя векторная скорость равна векторной величине смещения за весь путь, делённой на общее время.
• Положим исходную точку в начале координатного как (R, 0) = (4 м, 0). За половину круга тело проходит до конечной точки, diametrically opposite началу: конечная точка равна (-R, 0) = (-4 м, 0).
• Смещение: Δr = r_final − r_initial = (-4,0) − (4,0) = (-8, 0) м.
• Векторная средняя скорость: v̄ = Δr / T = (-8, 0) / (5π/4) = (-32/(5π), 0) м/с.
• По модулю: |v̄| = 32/(5π) ≈ 2.03 м/с.
• Направление: вдоль оси x в отрицательном направлении (от начала к концу траектории, то есть вдоль диаметра, соединяющего начальную и конечную точки).

Итого:

• Средняя путевая скорость: v_path ≈ 3.2 м/с.
• Средняя векторная скорость: v̄ = (-32/(5π), 0) м/с ≈ (-2.03, 0) м/с; модуль примерно 2.03 м/с и направление вдоль отрицательного x-оси.