m²-mn/(m²n+n³)-2m³/(n³-mn²+m²n-m³)

Задача: разобрать и упростить выражение m^2 - mn/(m^2 n + n^3) - 2 m^3/(n^3 - m n^2 + m^2 n - m^3)

Пояснение по шагам

1. Привести знаменатели к более простому виду

• m^2 n + n^3 = n(m^2 + n^2).
• n^3 - m n^2 + m^2 n - m^3 можно привести к сумме факторов: n^3 - m n^2 + m^2 n - m^3 = (n - m)(m^2 + n^2) (факторизация выполнена группировкой: n^3 - m n^2 = n^2(n - m), а m^2 n - m^3 = m^2(n - m), сумма даёт (n - m)(m^2 + n^2)).

Таким образом выражение становится m^2 - mn/[n(m^2 + n^2)] - 2 m^3/[(n - m)(m^2 + n^2)]

2. Упростить первую дробь mn/[n(m^2 + n^2)] = m/(m^2 + n^2), при условии n ≠ 0.

Теперь имеем E = m^2 - m/(m^2 + n^2) - 2 m^3/[(n - m)(m^2 + n^2)]

3. Объединение дробей в один коэффициент Уведём две дроби с общим знаменателем (n - m)(m^2 + n^2): E = m^2 - [ m(n - m) + 2 m^3 ] / [ (n - m)(m^2 + n^2) ]

4. Запись как единое дробное выражение E = [ m^2 (n - m)(m^2 + n^2) - m(n - m) - 2 m^3 ] / [ (n - m)(m^2 + n^2) ]

Дополнительные варианты видами

• Можно оставить в виде: E = m^2 - m/(m^2 + n^2) - 2 m^3/[(n - m)(m^2 + n^2)] как промежуточный шаг.
• Или вынести общий множитель m в числителе: E = m [ (n - m) m (m^2 + n^2) - (n - m) - 2 m^2 ] / [ (n - m)(m^2 + n^2) ] (но это не даёт дальнейшего упрощения в общем виде, так как в нём остаётся фактор (n - m), который не сокращается с знаменателем в общем случае).

5. Замечания по области определения

• Чтобы приведённое сокращение mn/(m^2 n + n^3) к m/(m^2 + n^2) было корректно, нужно n ≠ 0.
• Второй знаменатель не обращается в ноль, то есть (n - m)(m^2 + n^2) ≠ 0, что требует n ≠ m и не (m = n = 0).
• В целом область определения: n ≠ 0 и n ≠ m (и не одновременно m = n = 0).

6. Контрольный пример Пусть m = 1, n = 2.

• D1 = m^2 n + n^3 = 1·2 + 8 = 10, mn/D1 = 2/10 = 0.2
• D2 = n^3 - m n^2 + m^2 n - m^3 = 8 - 4 + 2 - 1 = 5, 2 m^3/D2 = 2/5 = 0.4
• E = m^2 - mn/D1 - 2 m^3/D2 = 1 - 0.2 - 0.4 = 0.4 Прямо соответствует упрощённой форме: E = m^2 - m/(m^2+n^2) - 2 m^3/[(n - m)(m^2+n^2)] для m=1, n=2 даёт 1 - 1/5 - 2/5 = 0.4.

Итог Упростилось до одного из следующих видов (в зависимости от желаемого формата):

• E = [ m^2 (n - m)(m^2 + n^2) - m(n - m) - 2 m^3 ] / [ (n - m)(m^2 + n^2) ]
• или эквивалентно E = m^2 - m/(m^2 + n^2) - 2 m^3/[(n - m)(m^2 + n^2)] Учитывайте ограничения области определения: n ≠ 0 и n ≠ m.