1. Для передачи данных используется двоичный код. Сообщение содержит только буквы А. Б, В или Г, для букв А, Б и В используются следующие кодовые слова: А — 0, Б-101, В-111.…

Задача по прямому условию Фано (Крафтово неравенство) для кодов А=0, Б=101, В=111.

Цели и данное:

• А = 0 (длина l_A = 1)
• Б = 101 (l_B = 3)
• В = 111 (l_V = 3)
• Нужно найти кодовое слово для Г с минимальной длиной, которое не нарушает прямое условие Фано: сумма 2^{-l_i} ≤ 1.
• Применяем “Фрунзенскую схему” (дерево кодирования) для наглядности.

1. Проверка текущей конфигурации

• Сумма по действующим кодовым словам: 2^{-1} + 2^{-3} + 2^{-3} = 1/2 + 1/8 + 1/8 = 0.75 ≤ 1. Условия Фано выполняются, т.е. код допустим.

2. Попытка л = 1 и л = 2

• л_G = 1: любой код «1» будет префиксом кодов Б и В (они начинаются с 1). Это нарушает префиксность.
• л_G = 2: все двоичные слова длины 2: 00, 01, 10, 11.
  • начинаются с 0: конфликтуют с A=0 (0 является префиксом 00 и 01).
  • 10 — префикс 101 (для Б).
  • 11 — префикс 111 (для В). Поэтому кодовое слово длины 2 выбрать невозможно.

3. Попытка л = 3

• Рассматриваем слова длины 3, которые не конфликтуют:
  • Начинаются на 0: 000,001,010,011 — конфликтуют с A=0 (0 префикс для этих слов).
  • 101 и 111 уже заняты кодами Б и В.
  • Остаются: 100 и 110.
• Значение минимального по двоичному представлению: 100 (4 в десятичной системе).

4. Проверка условий после добавления Г = 100

• Сумма 2^{-l_i} = 2^{-1} (A) + 2^{-3} (Б) + 2^{-3} (В) + 2^{-3} (Г) = 1/2 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 7/8 ≤ 1. Условие Фано выполнено.
• Префиксность сохранена: ни один код не является префиксом другого (A=0, Б=101, В=111, Г=100).

Ответ

• Кодовое слово для Г минимальной длины: 100 (длина 3).
• Это минимально возможное значение; альтернативно допустимо также 110, но минимальный по двоичному значению вариант — 100.