Задача: расстояние между городами по реке 90 км. Катер идет туда и обратно за 7 ч 30 мин (то есть за 7.5 ч). Скорость течения 5 км/ч. Найдите скорость катера в стоячей воде.
Пусть:
- v — скорость катера в стоячей воде (км/ч), которую нужно найти.
- c = 5 км/ч — скорость течения.
- расстояние между городами d = 90 км.
- скорость на спуске по течению: v + c = v + 5.
- скорость против течения: v - c = v - 5.
Общее время кругового рейса:
d/(v + c) + d/(v - c) = 7.5.
Подставляем данные:
90/(v + 5) + 90/(v - 5) = 7.5.
Упростим:
90[(v - 5) + (v + 5)] / (v^2 - 25) = 7.5
90[2v] / (v^2 - 25) = 7.5
180v / (v^2 - 25) = 7.5
Умножим обе стороны:
180v = 7.5(v^2 - 25) = 7.5v^2 - 187.5
Перепишем в стандартной форме:
7.5v^2 - 180v - 187.5 = 0
Упростим, умножив на 2:
15v^2 - 360v - 375 = 0
Разделим на 15:
v^2 - 24v - 25 = 0
Решение квадратного уравнения:
D = 24^2 + 4·25 = 576 + 100 = 676, sqrt(D) = 26.
v = (24 ± 26)/2 → положительный корень:
v = (24 + 26)/2 = 50/2 = 25 км/ч.
Проверка:
- скорость по течению: 25 + 5 = 30 км/ч → время 90/30 = 3 ч
- скорость против течения: 25 - 5 = 20 км/ч → время 90/20 = 4.5 ч
Сумма: 3 + 4.5 = 7.5 ч, что совпадает с условием.
Ответ: скорость катера в стоячей воде равна 25 км/ч.
