(а-12)^3-125

Задача: (a − 12)^3 − 125

Пошаговое решение и объяснение

1. Узнаем форму выражения

• 125 = 5^3, поэтому имеем разность кубов: (a − 12)^3 − 5^3.

2. Применяем формулу разности кубов

• x^3 − y^3 = (x − y)(x^2 + xy + y^2).
• Здесь x = a − 12, y = 5.

3. Применяем формулу к нашему выражению

• Множитель 1: x − y = (a − 12) − 5 = a − 17.
• Множитель 2: x^2 + xy + y^2 = (a − 12)^2 + 5(a − 12) + 25.

4. Вычислим второй множитель

• (a − 12)^2 = a^2 − 24a + 144
• 5(a − 12) = 5a − 60
• Сумма: (a^2 − 24a + 144) + (5a − 60) + 25 = a^2 − 19a + 109

5. Запишем ответ

• Полное разложение: (a − 17)(a^2 − 19a + 109)

6. Дополнительно можно проверить, разложив полностью

• Раскроем скобки: (a − 17)(a^2 − 19a + 109) = a^3 − 36a^2 + 432a − 1853
• И это равно исходному выражению при разложении (проверка).

Примечание

• Вторая степенная часть (a^2 − 19a + 109) имеет дискриминант Δ = (−19)^2 − 4·1·109 = 361 − 436 = −75, поэтому далее разложение над целыми/действительными корнями невозможно. Поэтому представление в виде (a − 17)(a^2 − 19a + 109) является окончательным факторизацией над множителем реальных чисел.