0 голосов 141 просмотров Решить задачу: Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 3 \sqrt{5}м. Определить катеты, если известно, что после того, как один из них увеличить на 133 \frac{1}{3}%, а другой на 16 \frac{2}{3}%, то сумма их длин сделается равной 14м

Задача: в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 3√5 м. Найти катеты, если после увеличения одного на 133 1/3% и другого на 16 2/3% их сумма стала 14 м. 1) Обозначим катеты как a и b. Тогда - гипотенуза: a^2 + b^2 = (3√5)^2 = 45. 2) Переведём проценты в множители: - 133 1/3% = 4/3, поэтому первый катет после увеличения станет a · (1 + 4/3) = a · (7/3). - 16 2/3% = 1/6, поэтому второй катет после увеличения станет b · (1 + 1/6) = b · (7/6). Условие: сумма увеличенных катетов равна 14 м: (7/3)a + (7/6)b = 14. Умножим на 6: 14a + 7b = 84 ⇒ 2a + b = 12. Отсюда b = 12 − 2a. 3) Подставим в уравнение для гипотенузы: a^2 + (12 − 2a)^2 = 45 a^2 + 144 − 48a + 4a^2 = 45 5a^2 − 48a + 99 = 0. 4) Решим квадратное уравнение: D = 48^2 − 4·5·99 = 2304 − 1980 = 324, √D = 18. a = (48 ± 18) / 10 → a = 66/10 = 33/5 или a = 30/10 = 3. 5) Найдём соответствующие b: - При a = 3: b = 12 − 2·3 = 6. - При a = 33/5: b = 12 − 2·(33/5) = 12 − 66/5 = -6/5 (отрицательно, допустимо исключаем). Итак, катеты: a = 3 м и b = 6 м. Проверка: - гипотенуза: √(3^2 + 6^2) = √(9 + 36) = √45 = 3√5 м, верно. - увеличенные суммы: (7/3)·3 = 7 и (7/6)·6 = 7, суммарно 14 м, верно. Ответ: катеты равны 3 м и 6 м (катет, увеличиваемый на 133 1/3%, — 3 м; катет, увеличиваемый на 16 2/3%, — 6 м).