На стороных АВ,ВСЕ,СD и АD четырёхугольника ABCD отмечены соответственно точки M,N,P,Q так,что АМ=СР, MNPQ-параллелограмм

Задача: на сторонах AB, BC, CD и AD четырехугольника ABCD отмечены точки M, N, P, Q соответственно так, что AM = CP и MNPQ является параллелограммом. Докажите, что AB = CD (при ненулём параметре, соответствующем делению стороны). Пошаговое решение: 1) Введём параметр деления стороны AB - Пусть k = AM / AB. Тогда AM = k · AB, причём 0 < k < 1 для непроходящего параллелограмма. 2) Связь по параллелограмму MNPQ - Поскольку MNPQ — параллелограмм, противоположные стороны MN и PQ параллельны и равны по длине, как и NP и MQ. Это приводит к тому, что точки N и Q делят BC и AD в том же отношении, что и M делит AB, но с «обратной» progressing: фактически из условий параллелограмма следует, что CP = k · CD. Обосновать можно формально через векторы: запишем координаты точек в виде - M = A + k(B − A), - N = B + (1 − k)(C − B), - P = C + k(D − C), - Q = D + (1 − k)(A − D). Из равенства M + P = N + Q (условие параллелограмма) получаются именно эти коэффициенты, значит CP = k · CD. 3) Применение условия AM = CP - По п.1 и п.2 имеем AM = k · AB и CP = k · CD. - Условие AM = CP даёт: k · AB = k · CD. - Если k ≠ 0 (для некотрогого параллелограмма MNPQ это верно), можно поделить на k и получить AB = CD. 4) Придатность к degenerate-случаю - Если бы k = 0, то M = A, P = C, N = C, Q = D, и MNPQ бы распалось (нулевая площадь). Поэтому в допустимом случае параллелограмма к нормальной задаче k ≠ 0, и вывод AB = CD корректен. Ответ: AB = CD.