докажите,что если у четырёхугольника две стороны параллельны и равны,то он является параллелограммом.

Задача: доказать, что если у четырехугольника две противоположные стороны параллельны и равны по длине, то он является параллелограммом.

Пусть квадрилateral ABCD таков, что AB ∥ CD и AB = CD. Предположим, что вершины идут по порядку вокруг фигуры (A, B, C, D).

Пошагово:

1. Приведём построение к простым координатам.

• Поместим A в точку (0, 0), а B в точку (b, 0), где b > 0. Тогда вектор AB имеет вид (b, 0) и длина AB равна b.
• Так как AB ∥ CD и AB = CD, выберем горизонтальный уровень h ≠ 0 и запишем D в точке (x, h). Тогда CD должно иметь такую же длину и быть параллельной AB, значит C будет в точке (x + b, h). Итак: A = (0, 0), B = (b, 0), C = (x + b, h), D = (x, h).

2. Найдём векторы сторон BC и AD.

• BC = C − B = (x + b − b, h − 0) = (x, h).
• AD = D − A = (x − 0, h − 0) = (x, h).

3. Вывод.

• BC и AD совпадают по вектору: BC = AD. Значит BC ∥ AD и длины BC и AD равны.
• Уже дано AB ∥ CD.
• Имеем две пары противоположных сторон параллельны: AB ∥ CD и BC ∥ AD.

Значит ABCD является параллелограммом.

Комментарий:

• Вырожденность здесь исключается (h ≠ 0), т. е. четырехугольник не лежит на одной прямой.
• Это и есть стандартная геометрическая сущность: в четырехугольнике одна пара противоположных сторон параллельна и равна по длине — это достаточное условие для параллелограмма.