Применяя метод Математической индукции ,докажите ,что при любом натуральном n справедливы следующие равенства :

Ниже дам подробное доказательство по математической индукции для каждого из пяти равенств. Прежде чем начать: обозначу S_a(n) — сумма, соответствующая пункту a, S_b(n) — соответствующая пункту b и т.д., и будем использовать естественные значения n ≥ 1. 1) a) 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 - База n = 1: левая часть 1, правая часть 1·2/2 = 1. Верно. - Шаг индукции: предположим, что верно для n: 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2. Тогда для n+1 имеем 1 + 2 + ... + n + (n+1) = n(n+1)/2 + (n+1) = (n(n+1) + 2(n+1)) / 2 = (n+1)(n+2) / 2. Это и есть формула для n+1. Следовательно, утверждение верно и для любого натурального n. 2) b) 1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3 - База n = 1: левая часть = 1·2 = 2; правая часть = 1·2·3/3 = 2. Верно. - Шаг индукции: предположим, что верно для n: S_n = ∑_{k=1}^n k(k+1) = n(n+1)(n+2)/3. Тогда S_{n+1} = S_n + (n+1)(n+2) = n(n+1)(n+2)/3 + (n+1)(n+2) = (n+1)(n+2) [ n/3 + 1 ] = (n+1)(n+2) (n+3)/3 = (n+1)(n+2)(n+3)/3. Это формула для n+1. Утверждение верно для всех натуральных n. 3) c) 1·4 + 2·7 + 3·10 + ... + n(3n+1) = n(n+1)^2 - База n = 1: левая часть = 1·4 = 4; правая часть = 1·(1+1)^2 = 4. Верно. - Шаг индукции: предположим, что S_n = ∑_{k=1}^n k(3k+1) = n(n+1)^2. Тогда S_{n+1} = S_n + (n+1)[3(n+1) + 1] = n(n+1)^2 + (n+1)(3n+4) = (n+1)[ n(n+1) + 3n + 4 ] = (n+1)[ n^2 + n + 3n + 4 ] = (n+1)[ n^2 + 4n + 4 ] = (n+1)(n+2)^2. Это и есть формула для n+1: (n+1)(n+2)^2. Следовательно, равенство верно для любого n. 4) d) 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 Заметим, что правая часть равна [n(n+1)/2]^2. Докажем по индукции. - База n = 1: левая часть 1^3 = 1; правая часть [1·2/2]^2 = 1. Верно. - Шаг индукции: предположим ∑_{k=1}^n k^3 = [n(n+1)/2]^2. Тогда ∑_{k=1}^{n+1} k^3 = [n(n+1)/2]^2 + (n+1)^3. Вынесем (n+1)^2 за скобки: [n(n+1)/2]^2 + (n+1)^3 = (n+1)^2 [ n^2/4 + (n+1) ] = (n+1)^2 [ (n^2 + 4n + 4) / 4 ] = (n+1)^2 (n+2)^2 / 4 = [ (n+1)(n+2) / 2 ]^2. Это формула для n+1. Значит утверждение верно для всех n. 5) e) 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^{n-1} = 2^n - 1 - База n = 1: левая часть = 2^0 = 1; правая часть = 2^1 - 1 = 1. Верно. - Шаг индукции: предположим, что ∑_{k=0}^{n-1} 2^k = 2^n - 1. Тогда ∑_{k=0}^{n}^{k} 2^k = (2^n - 1) + 2^{n} = 2^{n+1} - 1. Это и есть формула для n+1. Следовательно, равенство верно для всех натуральных n. Итак, все равенства a)–e) доказаны методом математической индукции. Если нужно, могу привести ещё альтернативные доказательства (например, разложение через факторизации или использование известных формул для сумма квадратов и кубов).