Задание в фото и ответить в виде фото

Готово. Ниже подробное решение по каждой части задания, используя метод математической индукции. Если хочешь, я могу превратить это решение в одно изображение/фото. Задача: доказываем формулы для любых натуральных n: a) 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2 б) 1·2 + 2·3 + 3·4 + ... + n(n+1) = n(n+1)(n+2)/3 в) 1·4 + 2·7 + 3·10 + ... + n(3n+1) = n(n+1)^2 г) 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = [n(n+1)/2]^2 д) 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^n = 2^{n+1} - 1 a) Сумма 1 + 2 + ... + n 1) База (n = 1): 1 = 1(1+1)/2 = 1. Хорошо. 2) Граница по индукции: пусть для некоторого k верно S_k = 1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2. 3) Шаг перехода: S_{k+1} = S_k + (k+1) = k(k+1)/2 + (k+1) = (k+1)(k/2 + 1) = (k+1)(k+2)/2. 4) Значит для n = k+1 справедливо S_{k+1} = (k+1)(k+2)/2. По индукции формула верна для всех натуральных n. Итог: a) S_n = n(n+1)/2. б) Сумма ∑_{i=1}^n i(i+1) = ∑ (i^2 + i) 1) База: n = 1: 1·2 = 2; правая часть: 1·2·3/3 = 2. Ок. 2) Пусть S_k = ∑_{i=1}^k i(i+1) = k(k+1)(k+2)/3. 3) Шаг перехода: S_{k+1} = S_k + (k+1)(k+2) = k(k+1)(k+2)/3 + (k+1)(k+2) = (k+1)(k+2)[k/3 + 1] = (k+1)(k+2)(k+3)/3. 4) Следовательно S_{k+1} = (k+1)(k+2)(k+3)/3, то есть формула верна для n = k+1. По индукции для всех n. Итог: б) S_n = n(n+1)(n+2)/3. в) Сумма ∑_{i=1}^n i(3i+1) = 1·4 + 2·7 + 3·10 + ... + n(3n+1) 1) База: n = 1: 1·(3·1+1) = 4; правая часть: 1·(1+1)^2 = 4. Ок. 2) Пусть S_k = ∑_{i=1}^k i(3i+1) = k(k+1)^2. 3) Шаг перехода: S_{k+1} = S_k + (k+1)[3(k+1) + 1] = k(k+1)^2 + (k+1)(3k+4) = (k+1)[k(k+1) + 3k + 4] = (k+1)[k^2 + k + 3k + 4] = (k+1)(k^2 + 4k + 4) = (k+1)(k+2)^2. 4) Но это равно [ (k+1)((k+1)+1) ]^2 = (k+1)^2 (k+2)^2? Нет, берём форму S_n = n(n+1)^2. Заменим n = k+1: S_{k+1} = (k+1)(k+2)^2. Это та же выражение в параметрах: для n = k+1 формула S_n = n(n+1)^2 выполняется. Значит шаг подтвержден. Итог: в) S_n = n(n+1)^2. г) Сумма кубов ∑_{i=1}^n i^3 1) База: n = 1: 1^3 = 1; правая часть: [1·2/2]^2 = 1^2 = 1. Ок. 2) Пусть S_k = ∑_{i=1}^k i^3 = [k(k+1)/2]^2. 3) Шаг перехода: S_{k+1} = S_k + (k+1)^3 = [k(k+1)/2]^2 + (k+1)^3 = (k+1)^2 [k^2/4 + (k+1)] = (k+1)^2 [ (k^2 + 4k + 4) / 4 ] = (k+1)^2 (k+2)^2 / 4 = [ (k+1)(k+2) / 2 ]^2 = [ (k+1)(k+2)/2 ]^2. 4) Значит формула верна для n = k+1. По индукции для всех n. Итог: г) S_n = [ n(n+1)/2 ]^2. д) Геометрическая прогрессия 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^n 1) База: n = 1: 1 + 2 = 3; правая часть: 2^{1+1} - 1 = 4 - 1 = 3. Ок. 2) Пусть S_n = ∑_{i=0}^n 2^i = 2^{n+1} - 1. Здесь левая часть начинается с 2^0 = 1, как в базе. 3) Шаг перехода: S_{n+1} = S_n + 2^{n+1} = (2^{n+1} - 1) + 2^{n+1} = 2·2^{n+1} - 1 = 2^{n+2} - 1. 4) Следовательно для n+1 верно S_{n+1} = 2^{(n+1)+1} - 1, что завершает индукцию. Итог: д) S_n = 2^{n+1} - 1. Если хочешь, могу оформить этот разбор в виде готового изображения: с формулами, шагами и пометками. Просто скажи, в каком формате хочешь получить файл (PNG/JPG) и размер изображения.