Определите угол между двумя векторами a и b (a = b), если модуль вектора их суммы равен: а) 0; б) 2а; в) а.
Задача явно звучит так: найти угол между двумя векторами a и b, при условии, что |a| = |b| (модули равны), и дано величина модуля суммы |a + b| в трех случаях: а) 0; б) 2|a|; в) |a|.
Обозначим угол между a и b за θ. Тогда по формуле для модулей векторов: |a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2 + 2|a||b| cos θ.
Так как |a| = |b| = a (обозначаем буквой a как величину модуля), получаем: |a + b|^2 = a^2 + a^2 + 2 a^2 cos θ = 2 a^2 (1 + cos θ).
Следовательно: |a + b| = sqrt(2 a^2 (1 + cos θ)) = a sqrt(2(1 + cos θ)) = 2 a |cos(θ/2)|.
Рассмотрим каждый случай.
|a + b| = 0 2 a |cos(θ/2)| = 0. Так как обычно считаем a > 0 (модуль не нулевой), то cos(θ/2) = 0, значит θ/2 = π/2 → θ = π (180°). Примечание: если a = 0 (нулевой вектор), задача становится тривиальной и угол неопределён.
|a + b| = 2 a 2 a |cos(θ/2)| = 2 a. Разделим на 2a (при a ≠ 0): |cos(θ/2)| = 1 → θ/2 = 0 или π → θ = 0 или θ = 2π. В диапазоне допустимых углов между векторами 0 ≤ θ ≤ π выбираем θ = 0. Ответ: θ = 0° (векторы направлены в одном и том же направлении).
|a + b| = a 2 a |cos(θ/2)| = a. Делим на 2a: |cos(θ/2)| = 1/2. Значит θ/2 ∈ {π/3, 2π/3} в интервале [0, π], но только θ = 2π/3 (120°) лежит в диапазоне 0–π. Ответ: θ = 120°.
Итого, при условии равных модулей |a| = |b|:
- а) |a + b| = 0 → θ = 180°
- б) |a + b| = 2|a| → θ = 0°
- в) |a + b| = |a| → θ = 120°
Если же принять за истинное условие a = b как совпадающие векторы (без предположения о равных модулях), то практический смысл изменится: для ненулевых векторов угол между ними при а = b всегда равен 0°, а случаи (а) и (в) неосуществимы (модуль суммы не может быть равен 0 или своему модулю при одинаковых ненулевых векторах). Но большинство задач предполагают именно равные модули векторов, как в приведённом решении.
