bn=+5*4 n

Спасибо. Чтобы решить точно, мне нужно прояснить одну вещь: как записана формула. В тексте написано "bn=+5*4 n" — это может означать либо:

• вариант A: b_n = 5 · 4^n (геометрическая последовательность);
• вариант B: b_n = +5 · 4n = 20n (арифметическая последовательность с разностью 20).

Далее приведу подробные решения по обоим вариантам. После этого скажите, какой из них правильный, и мы продолжим под нужный вам уровень и тему (10-й класс, цель: понять).

Вариант A: b_n = 5 · 4^n (геометрическая последовательность)

• Общая идея: каждый следующий член умножается на коэффициент r = 4. Первый член зависит от того, как считать n (с нуля или с единицы). Рассмотрим оба случая.

1. Если индекс начинается с n = 0:

   • Первый член: b_0 = 5 · 4^0 = 5.
   • Общий вид: b_n = 5 · 4^n.
   • Примеры: b_1 = 20, b_2 = 80, b_3 = 320.
   • Общая сумма первых N+1 членов (с n = 0 по n = N): S_N = a · (r^{N+1} − 1) / (r − 1) = 5 · (4^{N+1} − 1) / 3.
   • Если нужно сумма первых N членов (с n = 0 по n = N): S_N = 5 · (4^{N+1} − 1) / 3.
   • Если нужно сумма первых N членов, считая n от 0 до N−1 (разные школьные обозначения в одной задаче), просто подставляйте соответствующий предел суммирования в формулу выше.

2. Если индекс начинается с n = 1:

   • Тогда b_n = 5 · 4^n (и первый рассматривый член — b_1 = 20).
   • Примеры: b_1 = 20, b_2 = 80, b_3 = 320.
   • Общая сумма первых N членов (с n = 1 по n = N): S_N = a · (r^{N+1} − r) / (r − 1) = 5 · (4^{N+1} − 4) / 3.
   • Можно также записать как S_N = (5/3) · (4^{N+1} − 4).

3. Важные заметки:

   • Это геометрическая последовательность с начальным членом в зависимости от индекса.
   • Общий вид n-го члена: b_n = 5 · 4^n.
   • Параметры задачи (первый член, сумма) зависят от того, с какого n считать.

Вариант B: b_n = 20n (арифметическая последовательность)

• Общая идея: разность между соседними членами постоянная d = 20.
• Нормальный выбор индекса: чаще всего считают с n = 1.

1. Если индекс начинается с n = 1:
   • nth член: b_n = 20n.
   • Первый член: b_1 = 20.
   • Разность: d = 20.
   • Примеры: b_2 = 40, b_3 = 60, b_4 = 80.
   • Сумма первых N членов: S_N = N/2 · (2a_1 + (N − 1)d) = N/2 · (40 + (N − 1)·20) = N/2 · (20N + 20) = 10N(N + 1). Можно также записать как S_N = 10N^2 + 10N.
2. Если индекс начинается с n = 0:
   • Тогда b_n = 20n, первый член b_0 = 0.
   • Сумма первых N+1 членов (с 0 по N): S_N = N/2 · (2a_0 + N d) = N/2 · (0 + 20N) = 10N^2.
   • Но чаще используют индекс с 1 для арифметических задач.

Что нужно от вас

• Подтвердите, пожалуйста, какая запись верная:
  • b_n = 5 · 4^n, или
  • b_n = 20n (то есть 5 · 4n)?
• И скажите, с какого индекса считать (n = 0 или n = 1), какие именно выражения вам нужны (например, первый N членов, сумма до конкретного N и т. п.).

Как только подтвердите, я дам окончательное решение в нужном формате: пошагово, с объяснениями и примерами вычислений.