угол между высотой и биссектрисой, проведёнными и вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равен 15 градусам. найдите гипотинузу, если меньший катет равен 5

Задача: в прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены высота и биссектриса. Угол между ними равен 15°. Меньший катет равен 5. Найдите гипотенузу.

Решение:

1. Обозначения и координаты

• Пусть прямой угол в точке O.
• Пусть OA = a = 5 — меньший катет.
• Пусть OB = b — больший катет (b ≥ 5).
• Гипотенуза AB имеет длину c = √(a^2 + b^2).

С удобной системой координат: O = (0,0), A = (a,0) = (5,0), B = (0,b).

2. Высота и биссектриса из вершины прямого угла

• Высота OH до гипотенузы AB перпендикулярна AB. Поскольку AB имеет угол наклона, вычислим её наклон: m_AB = (b - 0) / (0 - a) = -b/5. Следовательно, наклон высоты OH, перпендикулярной AB, равен m_OH = 5/b. Уровень OH: у = (5/b) x.

• Биссектор из вершины O (между OA и OB) делит 90° пополам, значит она лежит под углом 45° к осям. В декартовой системе это прямая y = x.

3. Угол между двумя линиями

• Угол между двумя прямыми с наклонами m1 и m2 задаётся tan φ = |(m2 − m1) / (1 + m1 m2)|.
• Здесь φ — угол между OH и биссектором. Берём m1 = 1 (биссектор) и m2 = 5/b (высота): tan φ = |(1 − 5/b) / (1 + 5/b)| = |(b − 5)/(b + 5)|.

4. Используем данное значение φ = 15°

• tan 15° = 2 − √3.

• Значит (b − 5)/(b + 5) = 2 − √3.

• Решим относительно b: b − 5 = (2 − √3)(b + 5) b − 5 = (2 − √3)b + 5(2 − √3) b − (2 − √3)b = 5 + 5(2 − √3) b(√3 − 1) = 5(3 − √3) b = [5(3 − √3)] / (√3 − 1).

• Упростим: умножим числитель и знаменатель на (√3 + 1): b = 5(3 − √3)(√3 + 1) / ( (√3 − 1)(√3 + 1) ) = 5(2√3) / 2 = 5√3.

Итак, больший катет b = 5√3, меньший катет a = 5.

5. Гипотенуза

• c = √(a^2 + b^2) = √(5^2 + (5√3)^2) = √(25 + 75) = √100 = 10.

6. Проверка (быстрая)

• Наклон OH = 5/b = 5/(5√3) = 1/√3, значит угол OH к оси x равен arctan(1/√3) = 30°.
• Биссектриса — линия y = x, угол к оси x = 45°.
• Разность углов = 45° − 30° = 15°, что соответствует условию.

Ответ: гипотенуза равна 10.