Розвьяжи

Задача: знайти найбільше значення y = x^3 - 3x^2 + 2 на проміжку [-1; 1].

Пошагове рішення

1. Знайдемо критичні точки на проміжку.

• Обчислимо похідну: y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2).
• Рівняння y' = 0 дає критичні точки: x = 0 і x = 2. З них у проміжку [-1; 1] підходить лише x = 0.

2. Обчислимо значення функції в потрібних точках (кінці проміжку та критичній точці).

• y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2
• y(0) = 0^3 - 3·0^2 + 2 = 2
• y(1) = 1^3 - 3·1^2 + 2 = 1 - 3 + 2 = 0

3. Порівняємо значення.

• Максимум серед {y(-1), y(0), y(1)} дорівнює 2 (при x = 0).
• Мінімум дорівнює -2 (при x = -1), але задача просила максимум.

Додаткове зауваження

• Другий похідний: y'' = 6x - 6. У точці x = 0 маємо y''(0) = -6 < 0, тобто це локальний максимум, що узгоджується з знайденим значенням.

Відповідь: найбільше значення функції на проміжку [-1; 1] дорівнює 2, яке досягається в точці x = 0.