на данном рисунке плоскость альфа содержит точки А, В, С, Д, но не содержит точку М. Постройте точку К-точку пересечения прямой АВ и плоскости МСД. Лежит ли точка К в плоскости…

Кратко: точка K существует и лежит в плоскости α. Обоснование ниже.

Пояснения по шагам

1. Даны: A, B, C, D лежат на плоскости α; M не лежит на α. Плоскость MCD содержит точки M, C, D.

2. Пересечение плоскостей α и MCD — это прямая CD, потому что обе плоскости содержат точки C и D, и их общий прямой является CD.

3. Точка K определяется как пересечение прямой AB и плоскости MCD: K = AB ∩ MCD. Так как AB лежит в плоскости α, пересечение AB с плоскостью MCD сводится к пересечению AB с прямой CD (то есть AB ∩ MCD = AB ∩ CD).

4. Чтобы K существовало как точка, AB и CD должны не быть параллельны в плоскости α (иначе пересечения не будет; если бы AB coincided с CD, то пересечение было бы всей прямой, а не точки). В обычной формулировке задачи предполагают, что AB пересекает CD и получаем точку K.

5. Нужный вывод: Since K ∈ AB and AB ⊆ α, то K ∈ α. Таким образом, точка K лежит в плоскости α. Кроме того, K лежит и в плоскости MCD (так как K ∈ CD ⊆ MCD).

Как построить K на рисунке

• В плоскости α проведите прямую CD (через C и D).
• Постройте прямую AB.
• Найдите их точку пересечения K. Это и будет точка K = AB ∩ MCD.
• По определению K принадлежит α (так как AB лежит в α).

Замечание

• В случае, если AB параллельна CD (или AB совпадает с CD), точка K не существует как уникная точка пересечения. В нормальной формулировке задачи предполагается, что AB пересекает CD, чтобы K был однозначной точкой.