какую цифру нужно приписать к числу 10 слева и справа, чтобы получилось четырёхзначное число, делящееся а) на 9 б) на 3 в) на 6

Задача: к числу 10 слева и справа приписать одну и ту же цифру d, чтобы получилось четырехзначное число d10d, которое делится на … (a) 9, (b) 3, (c) 6.

Пусть d — искомая цифра (от 1 до 9, чтобы число было четырехзначным). Получаемое число равно d10d = 1000d + 100 + d = 1001d + 100. Сумма цифр этого числа: d + 1 + 0 + d = 2d + 1.

Теперь по пунктам:

а) Делится на 9

• Для делимости на 9 сумма цифр должна быть кратна 9: 2d + 1 ≡ 0 (mod 9).
• Решение: 2d ≡ 8 (mod 9) → d ≡ 4 (mod 9).
• Среди цифр 1–9 единственное подходящее: d = 4.
• Ответ: 4 (число 4104 делится на 9).

б) Делится на 3

• Для делимости на 3 сумма цифр должна быть кратна 3: 2d + 1 ≡ 0 (mod 3).
• Решение: 2d ≡ 2 (mod 3) → d ≡ 1 (mod 3).
• Варианты: d = 1, 4, 7.
• Ответ: 1, 4, 7 (числа 1101, 4104, 7107 делятся на 3).

в) Делится на 6

• Число должно делиться на 2 и на 3. Последняя цифра — d, значит d must быть чётной: d ∈ {0,2,4,6,8} (но 0 нельзя, чтобы число было четырехзначным).
• Также 2d + 1 ≡ 0 (mod 3) → d ≡ 1 (mod 3).
• Пересечение: чётные числа ≡1 по модулю 3 даёт d = 4.
• Ответ: 4 (число 4104 делится на 6).

Итого:

• а) цифра 4
• б) цифры 1, 4, 7
• в) цифра 4

Примеры чисел: 4104 делится на 9, 3 и 6; 1101 и 7107 делятся на 3.