x4-6x2-7=0

Задача: x^4 - 6x^2 - 7 = 0

Это би-квадратное уравнение (только квадратные и четвертой степени без x в остальных степенях). Решим по шагам.

1. Замена переменной

• Обозначим y = x^2. Тогда уравнение превращается в: y^2 - 6y - 7 = 0.

2. Решение квадратного уравнения по дискриминанту

• D = (-6)^2 - 4·1·(-7) = 36 + 28 = 64.
• Корни: y = (6 ± sqrt(64)) / 2 = (6 ± 8) / 2 => y1 = 7, y2 = -1.

3. Возвращение к x

• Из y = x^2 получаем два варианта:
  • x^2 = 7 → x = ±√7.
  • x^2 = -1 → x = ±i (если рассматривать комплексные числа).

4. Проверка/факторизация

• Можно разложить исходное уравнение на множители: x^4 - 6x^2 - 7 = (x^2 - 7)(x^2 + 1) = 0. Отсюда те же решения: x^2 = 7 или x^2 = -1.

Итоги

• Реальные корни: x = √7 и x = -√7.
• Полный набор корней над комплексными числами: x ∈ {√7, -√7, i, -i}.