x2 - 4x/ x2 + 7x : 24-6x/49-x2

Задача: (x^2 − 4x)/(x^2 + 7x) ÷ (24 − 6x)/(49 − x^2)

Пошаговое решение.

1. Представим как составную дробь и распишем факториалы.

• x^2 − 4x = x(x − 4)
• x^2 + 7x = x(x + 7)
• 24 − 6x = 6(4 − x) = −6(x − 4)
• 49 − x^2 = (7 − x)(7 + x) = −(x − 7)(x + 7)

2. Упростим каждую часть.

• Первая дробь: (x^2 − 4x)/(x^2 + 7x) = [x(x − 4)]/[x(x + 7)] = (x − 4)/(x + 7), при x ≠ 0, −7.
• Вторая дробь: (24 − 6x)/(49 − x^2) = [−6(x − 4)]/[−(x − 7)(x + 7)] = 6(x − 4)/[(x − 7)(x + 7)], при x ≠ ±7.

3. Деление двух дробей: A ÷ B = A · (1/B).

• А = (x − 4)/(x + 7)
• B = 6(x − 4)/[(x − 7)(x + 7)] Тогда A ÷ B = [(x − 4)/(x + 7)] · [ (x − 7)(x + 7) / (6(x − 4)) ]

4. Приведём к простейшему виду.

• При наличии (x − 4) и (x + 7) можно их сократить: = (x − 7)/6

5. Учтём область определения (нельзя делить на ноль в исходном выражении).

• x^2 + 7x ≠ 0 → x ≠ 0, −7
• 49 − x^2 ≠ 0 → x ≠ 7, −7
• Также B ≠ 0, т.е. 24 − 6x ≠ 0 → x ≠ 4 Итак, допустимы все x, кроме: x ∈ R \ {−7, 0, 4, 7}.

Ответ: Сложение в виде упрощённого выражения: (x − 7)/6, при x ∉ {−7, 0, 4, 7}.