x^2-25/x^3+5x^2-2x-10

Задача принята как (x^2 - 25) / (x^3 + 5x^2 - 2x - 10). При необходимости можно сообщить, если задача имела другой вид.

Пошаговое решение (для понимания):

1. Фактор числителя

• x^2 - 25 — разность квадратов.
• x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5).

2. Фактор знаменателя по группировке

• x^3 + 5x^2 - 2x - 10 можно разобрать по группам: (x^3 + 5x^2) + (-2x - 10) = x^2(x + 5) - 2(x + 5) = (x^2 - 2)(x + 5).

3. Замена и упрощение

• Тогда исходная дробь становится ((x - 5)(x + 5)) / ((x^2 - 2)(x + 5)).
• Можно сократить общий множитель (x + 5), но только при условии, что он не равен нулю в допустимой области.

4. Условия сокращения

• Чтобы сокращение было допустимо, нужно исключить x = -5, так как в знаменателе исходной дроби там был нуль.
• После сокращения остаются ограничения на знаменатель итоговой дроби: x^2 - 2 ≠ 0 → x ≠ ±√2.

5. Итоговый вид и область определения

• Упрощённая форма: (x - 5) / (x^2 - 2).
• Область определения: x ∈ R, x ≠ -5, x ≠ √2, x ≠ -√2.

Коротко: упрощённое выражение (x - 5) /(x^2 - 2) с ограничениями x ≠ -5, ±√2.