решит

Вот подробное решение по двум частям задачи: сначала численные значения, затем упрощение выражений с использованием формул приведения.

Часть A. Численные значения trig-функций

1. sin 135°

• 135° = 180° - 45°.
• sin(180° - x) = sin x. Значит sin 135° = sin 45° = √2/2.

2. cos 210°

• 210° = 180° + 30°.
• cos(180° + x) = -cos x. Значит cos 210° = -cos 30° = -√3/2.

3. sin 300°

• 300° = 360° - 60°.
• sin(360° - x) = -sin x. Значит sin 300° = -sin 60° = -√3/2.

4. sin 240°

• 240° = 180° + 60°.
• sin(180° + x) = -sin x. Значит sin 240° = -sin 60° = -√3/2.

5. tg 315°

• 315° = 360° - 45°.
• tan(360° - x) = -tan x. Значит tan 315° = -tan 45° = -1.

Ответы части A:

• sin 135° = √2/2
• cos 210° = -√3/2
• sin 300° = -√3/2
• sin 240° = -√3/2
• tan 315° = -1

Часть B. Упрощение выражений с помощью формул приведения

Используем базовые формулы:

• sin(π/2 + α) = cos α
• cos(π − α) = −cos α
• tan(3π/2 + α) = sin(3π/2 + α) / cos(3π/2 + α); можно посчитать через sin и cos, либо воспользоваться периодичностью tan(θ + π) = tan θ
• cot(2π + α) = cot α
• sin(π + α) = −sin α
• cos(3π/2 + α) = cos(3π/2) cos α − sin(3π/2) sin α = 0·cos α − (−1)·sin α = sin α
• tan(2π − α) = tan(−α) = −tan α
• cot(π/2 − α) = tan α

Пошаговые ответы для каждого пункта:

1. sin(π/2 + α) = cos α

• Доказательство: sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B. sin(π/2 + α) = sin(π/2) cos α + cos(π/2) sin α = 1·cos α + 0·sin α = cos α.

2. cos(π − α) = −cos α

• Доказательство: cos(π − α) = cos π cos α + sin π sin α = (−1)·cos α + 0·sin α = −cos α.

3. tan(3π/2 + α) = −cot α

• Доказательство через sin/cos: sin(3π/2 + α) = sin 3π/2 cos α + cos 3π/2 sin α = (−1) cos α + 0·sin α = −cos α; cos(3π/2 + α) = cos 3π/2 cos α − sin 3π/2 sin α = 0·cos α − (−1) sin α = sin α. tan = sin/cos = (−cos α) / (sin α) = −cot α.
• Также можно использовать периодичность tan(θ + π) = tan θ.

4. cot(2π + α) = cot α

• Периодичность котангенса: cot(θ + π) = cot θ. Добавление 2π не меняет значение, значит cot(2π + α) = cot α.

5. sin(π + α) = −sin α

• sin(π + α) = sin π cos α + cos π sin α = 0·cos α + (−1)·sin α = −sin α.

6. cos(3π/2 + α) = sin α

• Доказательство как в пункте 3: cos(3π/2 + α) = cos 3π/2 cos α − sin 3π/2 sin α = 0·cos α − (−1)·sin α = sin α.

7. tan(2π − α) = −tan α

• tan(2π − α) = tan(−α) = −tan α.

8. cot(π/2 − α) = tan α

• Доказательство: cot(π/2 − α) = cos(π/2 − α) / sin(π/2 − α) = sin α / cos α = tan α.

Итого, упрощения:

• sin(π/2 + α) = cos α
• cos(π − α) = −cos α
• tan(3π/2 + α) = −cot α
• cot(2π + α) = cot α
• sin(π + α) = −sin α
• cos(3π/2 + α) = sin α
• tan(2π − α) = −tan α
• cot(π/2 − α) = tan α

Если нужно, могу привести дополнительные примеры или расписать каждую подстановку подробнее по шагам.