Метод выделения полного квадрата

Ниже подробное решение по методу выделения полного квадрата (complete the square) для разложения на множители. Так как параметры предмета и класса не указаны, дам общий для средней школы подход и покомпонентно разложу каждое выражение, которое видно на фото (а–f). Метод в общих чертах: - Сначала приводим выражение к форме квадратика и разности квадратов. - Часто полезно записать как (что-то)^2 ± (что-то)^2, затем применяем формулу разности квадратов: A^2 − B^2 = (A − B)(A + B). - Это позволяет получить разложение на множители. Решения a) 2a^2 − 4ab − 4a^2 + 2b^2 + 4b^2 1) Соединяем подобные члены: 2a^2 − 4a^2 = −2a^2, и 2b^2 + 4b^2 = 6b^2. Выражение становится: −2a^2 − 4ab + 6b^2. 2) Вынесем общий множитель −2: −2(a^2 + 2ab − 3b^2). 3) Приведём внутреннее выражение к форме разности квадратов: a^2 + 2ab − 3b^2 = (a + b)^2 − (2b)^2. 4) Разложим по формуле разности квадратов: (a + b − 2b)(a + b + 2b) = (a − b)(a + 3b). 5) Итог: −2(a − b)(a + 3b). b) x^2 − 6x + 8 1) Дополняем до квадрата: x^2 − 6x + 9 − 1 = (x − 3)^2 − 1^2. 2) Разложим как разность квадратов: (x − 3 − 1)(x − 3 + 1) = (x − 4)(x − 2). Итого: (x − 4)(x − 2). c) x^2 − 3x + 2 1) Дополнение квадрата: x^2 − 3x + (3/2)^2 − (3/2)^2 + 2 = (x − 3/2)^2 − 9/4 + 2. 2) Приведём: (x − 3/2)^2 − 1/4 = (x − 1)(x − 2) (раскрывается как произведение линейных множителей). Итого: (x − 1)(x − 2). d) a^2 − 3ab + 2b^2 1) Рассматриваем как квадрат по a: a^2 − 3ab + 2b^2 = (a − b)(a − 2b). Итого: (a − b)(a − 2b). e) x^2 − 7xy + 10y^2 1) Дополнение квадрата по x или по y: можно записать как (x^2 − 7xy + (7y/2)^2) − (7y/2)^2 + 10y^2, что даёт (x − (7/2)y)^2 − (3/2)^2 y^2. 2) Разложим как разность квадратов: [x − (7/2)y − (3/2)y][x − (7/2)y + (3/2)y] = (x − 5y)(x − 2y). Итого: (x − 5y)(x − 2y). f) x^4 + 5x^2 + 9 1) Заметим, что это можно записать как сумма и разности квадратов: x^4 + 5x^2 + 9 = (x^2 + 3)^2 − x^2. 2) Применим разложение разности квадратов: [(x^2 + 3) − x][(x^2 + 3) + x] = (x^2 − x + 3)(x^2 + x + 3). Итого: (x^2 − x + 3)(x^2 + x + 3). Если какие-то выражения на фото выглядят иначе, присылайте текст точной записи — подстрою решение под ваши данные.