Проведите три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначают все точки пересечения этих прямых. Сколько получилось точек? Рассмотрите все возможные случаи.

Задача: провести три прямые так, чтобы каждые две из них пересекались. Обозначить точки пересечения. Сколько точек получится? Рассмотреть все случаи.

Ключевые замечания

• Каждая пара прямых должна пересекаться, значит ни одна пара не параллельна.
• Возможны разные конфигурации трех прямых: все три проходят через одну общую точку, или они не все проходят через одну точку.

Два возможных случая

1. Все три прямые concurrent (одна общая точка пересечения)

• Прямые все проходят через одну точку O.
• Тогда каждая пара прямых пересекается в одной и той же точке O.
• Число точек пересечения: 1.

2. Не все три проходят через одну точку (не-конкурентные)

• Пусть две прямые L1 и L2 пересекаются в точке P.
• Третья прямая L3 не проходит через P (иначе был бы случай 1).
• L3 пересекает L1 в точке Q и L2 в точке R.
• Тогда P, Q, R различны: Q не равна P (иначе L3 проходила бы через P), и R не равна P по той же причине; Q не равна R, иначе все три прямые прошли бы через одну точку.
• Число точек пересечения: 3 (точки P, Q, R — по одной на каждой паре прямых).

Итого

• Возможны два варианта количества точек пересечения: 1 точка (если все три прямые concurrent) или 3 точки (если они не concurrent).
• Вариант с 2 точками невозможно при условии, что каждые две прямые пересекаются и все прямые различны.

Примеры

• Пример 1 (1 точка): прямые x = 0, y = 0 и y = x пересекаются все в одной точке (0,0).
• Пример 2 (3 точки): прямые x = 0, y = 0 и y = x + 1. Их пары пересекаются в точках: (0,0) (пересечение x=0 и y=0), (0,1) (x=0 и y=x+1), (-1,0) (y=0 и y=x+1). Всего три точки.

Ответ: 1 или 3 точки, в зависимости от того, проходят ли все три прямые через одну общую точку или нет.