abc равнобедренный треугольник. AB=BC=10 см, AC=12см, BH высота. найти: синус угла BAC косинус угла ACB тангенс угла CBH высоту AK и синус угла ABK

Задача: треугольник ABC равнобедреный с AB = BC = 10 см, AC = 12 см. BH — высота на AC (H — на AC). Найти: sin∠BAC, cos∠ACB, tan∠CBH, высоту AK (A–к BC) и sin∠ABK.

1. Найдем синус и косинус угла B (∠ABC) с помощью теоремы косинусов.

• AC^2 = AB^2 + BC^2 − 2·AB·BC·cos(B)
• 12^2 = 10^2 + 10^2 − 2·10·10·cos(B)
• 144 = 200 − 200·cos(B) ⇒ cos(B) = 56/200 = 7/25
• sin(B) = sqrt(1 − cos^2(B)) = sqrt(1 − (7/25)^2) = sqrt(576/625) = 24/25

2. Найдем угол A (∠BAC). Применим теорему косинусов к стороне BC:

• BC^2 = AB^2 + AC^2 − 2·AB·AC·cos(A)
• 10^2 = 10^2 + 12^2 − 2·10·12·cos(A)
• 100 = 100 + 144 − 240·cos(A) ⇒ cos(A) = 144/240 = 3/5
• sin(A) = sqrt(1 − (3/5)^2) = sqrt(16/25) = 4/5

Так как треугольник равнобедреный (AB = BC), углы A и C равны, поэтому:

• sin∠BAC = sin(A) = 4/5
• cos∠ACB = cos(C) = cos(A) = 3/5

3. Угол ∠CBH. BH — высота на AC, значит BH ⟂ AC. Тогда ∠CBH образует угол между BC и BH, который равен 90° − ∠BCA. Так как ∠BCA = ∠A и cos(A) = 3/5, sin(A) = 4/5:

• tan∠CBH = tan(90° − ∠BCA) = cot(∠BCA) = cos(∠BCA)/sin(∠BCA) = (3/5)/(4/5) = 3/4

4. Высота AK (опущена из A на BC). По формуле площади через две стороны и синус угла между ними:

• S = (1/2)·AB·BC·sin(B) = (1/2)·10·10·(24/25) = 48
• AK = 2S / BC = 2·48 / 10 = 96/10 = 48/5 см = 9,6 см

5. sin∠ABK. Угол ∠ABK имеет вершину в B, стороны BA и BK (BK лежит на BC), поэтому ∠ABK = ∠ABC. Следовательно:

• sin∠ABK = sin(B) = 24/25

Итого:

• sin∠BAC = 4/5
• cos∠ACB = 3/5
• tan∠CBH = 3/4
• AK = 48/5 см = 9,6 см
• sin∠ABK = 24/25