Четыре натуральных числа а,б,в,г таковы, что 1/а+1/б+1/в+1/г=1/2. Могут ли все числа быть попарно различны?

Да. Приведу конструктивное решение и пример.

Как показать существует quadruple из попарно различных натуральных чисел a, b, c, d such that 1/a + 1/b + 1/c + 1/d = 1/2:

1. Начнем с простого разложения: 1/2 = 1/3 + 1/6. Это верно, потому что 1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

2. Разложим 1/3 на две части: 1/3 = 1/4 + 1/12. Это также верно, поскольку 1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3.

3. Разложим 1/4 на две части: 1/4 = 1/5 + 1/20. Проверимо: 1/5 + 1/20 = 4/20 + 1/20 = 5/20 = 1/4.

Итого: 1/2 = (1/5) + (1/20) + (1/12) + (1/6).

Дроби имеют следующие знаменатели: 5, 20, 12, 6 — все они различны. Значит можно взять a = 5, b = 20, c = 12, d = 6 (или в любом порядке).

Проверка: приведем к общему знаменателю 60:

• 1/5 = 12/60
• 1/20 = 3/60
• 1/12 = 5/60
• 1/6 = 10/60 Сумма: 12 + 3 + 5 + 10 = 30, значит 30/60 = 1/2. Всё верно.

Ответ: да, такие числа существуют. Пример: 5, 20, 12, 6 (пупарно различны).