В равнобедренной трапеции меньшее основание равно 7 см, а диагональ трапеции делит острый угол попо- лам. Найдите среднюю линию трапеции, если пери- метр трапеции равен З1 см.
Задача: равнобедренная трапеция, меньшая основа a = 7 см, диагональ делит острый угол пополам, периметр трапеции P = 31 см. Найдите среднюю линию m (средняя линия равна среднему значению длин оснований).
Пошаговое решение:
- Обозначения
- меньшая база a = 7, большая база c (неизвестна), боковые стороны (равные) l, высота h.
- Средняя линия трапеции m = (a + c)/2, которую и нужно найти.
- Так как трапеция равнобедренная, её середины основ совпадают по вертикали. Введём удобное расположение координат: A(-a/2, h), B(a/2, h) — верхняя основание AB длиной a; D(-c/2, 0), C(c/2, 0) — нижняя основание CD длиной c. Тогда AD = BC = l и l^2 = h^2 + ((c − a)/2)^2.
- Условие бисекции диагональю Пусть диагональ AC делит угол BAD пополам. Векторы:
- AB = (a, 0)
- AD = ((a − c)/2, −h)
- AC = ((a + c)/2, −h)
Условие: угол между AB и AC равен углу между AC и AD. Это эквивалентно равенству косинусов углов BAC и CAD, что даёт отношение: (AB · AC) / (|AB|) = (AC · AD) / (|AD|)
Вычисления:
- AB · AC = a(a + c)/2
- AC · AD = ((a + c)/2)((a − c)/2) + h^2 = (a^2 − c^2)/4 + h^2
- |AB| = a, |AD| = l
Следовательно: (a + c)/2 = [ (a^2 − c^2)/4 + h^2 ] / l Переобразуем это в явное выражение для h^2: h^2 = l(7 + c)/2 + (c^2 − 49)/4. (1)
- Связь длины боковой стороны l^2 = h^2 + ((c − a)/2)^2 = h^2 + (c − 7)^2/4. (2) Подставим (1) в (2): l^2 = [l(7 + c)/2 + (c^2 − 49)/4] + (c − 7)^2/4
Упростим куски с дробями: (c − 7)^2/4 = (c^2 − 14c + 49)/4 Сумма (c^2 − 49)/4 + (c^2 − 14c + 49)/4 = (2c^2 − 14c)/4 = (c^2 − 7c)/2
Итого: l^2 = l(7 + c)/2 + (c^2 − 7c)/2. (3)
Используем периметр P = a + c + 2l = 31 ⇒ 7 + c + 2l = 31 ⇒ l = 12 − c/2. (4)
Решение для c Подставим l из (4) в (3): 2l^2 = l(7 + c) + (c^2 − 7c)
Подстановка l = 12 − c/2 даёт уравнение относительно c. Решение даёт c = 8.
- Найдём среднюю линию m = (a + c)/2 = (7 + 8)/2 = 15/2 = 7.5 см.
Ответ: средняя линия трапеции равна 7,5 см.
