Реши задачу 69 9 класс

Задача 69, 9 класс

Дано:

• расстояние по течению = 56 км
• расстояние против течения = 54 км
• общее время пути = 5 ч
• скорость течения реки = 5 км/ч
• собственная скорость баржи в стоячей воде = v (км/ч)

speeds:

• по течению скорость баржи = v + 5
• против течения скорость баржи = v − 5

Время в пути:

• время по течению: 56 / (v + 5)
• время против течения: 54 / (v − 5)

Суммарное время равно 5 часам: 56/(v+5) + 54/(v−5) = 5

Решение уравнения: 56/(v+5) + 54/(v−5) = 5 Общий знаменатель: (v+5)(v−5) = v^2 − 25 (56(v−5) + 54(v+5)) / (v^2 − 25) = 5 (56v − 280 + 54v + 270) / (v^2 − 25) = 5 (110v − 10) / (v^2 − 25) = 5

Умножаем обе стороны на (v^2 − 25): 110v − 10 = 5(v^2 − 25) = 5v^2 − 125

Переносим все в одну сторону: 0 = 5v^2 − 125 − 110v + 10 = 5v^2 − 110v − 115

Разделим на 5: v^2 − 22v − 23 = 0

Квадратное уравнение: D = 22^2 − 4·1·(−23) = 484 + 92 = 576, sqrt(D) = 24

v = [22 ± 24] / 2 v = (22 + 24)/2 = 46/2 = 23 или v = (22 − 24)/2 = −1

Положительное значение подходит: v = 23 км/ч.

Проверка:

• скорость по течению = 23 + 5 = 28 км/ч → время 56/28 = 2 ч
• скорость против течения = 23 − 5 = 18 км/ч → время 54/18 = 3 ч Сумма времени = 2 + 3 = 5 ч, все верно.

Ответ: собственная скорость баржи в стоячей воде равна 23 км/ч.