составьте систему неравенств с решением которой является числовые промежутки составленные из координат точек находящихся на сторонах треугольника ABC и внутри него если координаты вершин таковы а (- 3 ;- 3) b (0; 3 ) и c (3 ;- 1)
Дано треугольник ABC с вершинами:
A(-3, -3), B(0, 3), C(3, -1).
Цель: получить систему неравенств, чьим решением является закрытый треугольник (включая стороны и interior).
1) Найдём уравнения прямых, ограничивающих стороны треугольника.
- AB: через A(-3,-3) и B(0,3). Найдём наклон m_AB = (3 - (-3)) / (0 - (-3)) = 6/3 = 2.
Уравнение: y - (-3) = 2(x - (-3)) → y = 2x + 3.
Прямой AB: y = 2x + 3.
- BC: через B(0,3) и C(3,-1). Наклон m_BC = (-1 - 3) / (3 - 0) = -4/3.
Через B: y - 3 = (-4/3)(x - 0) → y = 3 - (4/3)x.
Прямой BC: 4x + 3y = 9.
- CA: через C(3,-1) и A(-3,-3). Наклон m_CA = (-3 - (-1)) / (-3 - 3) = (-2)/(-6) = 1/3.
Через A: y + 3 = (1/3)(x + 3) → y = x/3 - 2.
Прямой CA: y = x/3 - 2 или x - 3y = 6.
2) Определим, какие полупространства взять, чтобы получился треугольник (включая грани).
Пусть interior треугольника лежит на той стороне каждой прямой, в которую попадает оставшаяся вершина треугольника.
- Для AB: координата C подставим в y - (2x + 3) = y - 2x - 3. В C(-, -) получаем (-1) - (2·3) - 3 = -10 < 0, значит interior лежит в полупространстве y ≤ 2x + 3.
- Для BC: уравнение 4x + 3y = 9. Подставим A(-3,-3): 4(-3) + 3(-3) = -30 < 9, значит interior лежит в полупространстве 4x + 3y ≤ 9.
- Для CA: уравнение x - 3y = 6. Подставим B(0,3): 0 - 3·3 = -9 < 6, значит interior лежит в полупространстве x - 3y ≤ 6. Эквивалентно y ≥ x/3 - 2.
3) Запишем систему неравенств (однако можно оставить и в виде с дробями; предпочтительно целочисленные коэффициенты):
Система с целыми коэффициентами:
- y ≤ 2x + 3
- 4x + 3y ≤ 9
- x - 3y ≤ 6
Альтернатива в виде верхних/нижних зависимостей:
- y ≤ 2x + 3
- y ≤ -4x/3 + 3
- y ≥ x/3 - 2
4) Проверка вершин треугольника (пересечение пар прямых даёт A, B, C):
- AB ∩ BC → B(0,3)
- AB ∩ CA → A(-3,-3)
- BC ∩ CA → C(3,-1)
Итак, искомая система неравенств, чьим решением является закрытый треугольник ABC, задан координатами вершин A(-3,-3), B(0,3), C(3,-1), следующая:
- y ≤ 2x + 3
- 4x + 3y ≤ 9
- x - 3y ≤ 6
Эта система задаёт именно сам треугольник ABC (включая стороны и внутреннюю область).
