найдите область определения функции y=√(10+3x-x^2)/x-3
Цель: найти область определения для y = √(10 + 3x − x^2) / x − 3 (то есть y = (√(10+3x−x^2))/x − 3).
Пошаговое решение:
Условие под корнем 10 + 3x − x^2 ≥ 0. Перепишем в виде −x^2 + 3x + 10 ≥ 0. Умножим обе части на −1 (меняем знак направления неравенства): x^2 − 3x − 10 ≤ 0. Разложим на множители: (x − 5)(x + 2) ≤ 0. Диапазон, где произведение ≤ 0, лежит между корнями: x ∈ [-2, 5].
Условие деления на ноль В выражении есть деление на x, поэтому x ≠ 0.
Область определения Нужно совместить условия 1) и 2): [-2, 5] ∖ {0} = [-2, 0) ∪ (0, 5].
Примечание
- На концах интервалов x = −2 и x = 5 корень обращается в 0, деление на x допустимо, поэтому эти точки включаем.
- В приближении к x = 0 функция ведёт себя как (√10)/x − 3, т.е. есть вертикальная асимптота x = 0.
Ответ: область определения функции y = √(10 + 3x − x^2) / x − 3 равна [-2, 0) ∪ (0, 5].
Примечание (вариантная расстановка скобок): Если трактовать как y = √(10+3x−x^2)/(x−3), то область была бы [-2, 5] с исключением x = 3, то есть [-2, 3) ∪ (3, 5]. Но данный вариант следует из исходной записи: (√(...))/x − 3.
