Реши

Ниже решение задачи 1.6 на основе приведённых пар (a, b). Суть: найти максимную степень n такая, чтобы a^n делилось на b. Для этого раскладываем b на простые множители и сравниваем с разложением a.

Метод (кратко):

• Разложим a на простые: a = ∏ p_i^{α_i}.
• Разложим b на простые: b = ∏ p_i^{β_i} (для тех p_i, которые встречаются в a; остальные не влияют).
• Для каждого p_i выполняем неравенство α_i · n ≤ β_i, и берем n = min_i floor(β_i / α_i).
• Если у некоторого p_i в a есть α_i > 0, а β_i = 0, то n = 0 (a не делит b вообще).

Применим к вашим парам:

1. a = 9, b = 32805

• 9 = 3^2.
• 32805 = 5 · 6561, а 6561 = 3^8, значит b = 3^8 · 5.
• β_3 = 8, α_3 = 2 → floor(8 / 2) = 4.
• Другие пр добавочные примеси в a нет.
• Ответ: n = 4. То есть 9^4 делит 32805, 9^5 не делит.

2. a = 7, b = 50421

• 7 = 7^1.
• 50421 = 3 · 16807, а 16807 = 7^5, значит b = 3 · 7^5.
• β_7 = 5, α_7 = 1 → floor(5 / 1) = 5.
• Другие пр в a нет.
• Ответ: n = 5. То есть 7^5 делит 50421, 7^6 не делит.

3. a = 6, b = 155552

• 6 = 2 · 3.
• 155552 = ? Разложим: 155552 / 2 = 77776; /2 = 38888; /2 = 19444; /2 = 9722; /2 = 4861. Значит b = 2^5 · 4861. Число 4861 — простое (не делится на 2,3,5,7,11,13,... до sqrt(4861)).
• β_2 = 5, α_2 = 1; β_3 = 0, α_3 = 1.
• Неравенство для p = 3 даёт floor(0 / 1) = 0, значит n ≤ 0.
• Ответ: n = 0. То есть 6^0 делит b (а 6 вообще не делит 155552).

Итоговые ответы для задачи 1.6:

• a = 9, b = 32805 → максимальная степень n = 4.
• a = 7, b = 50421 → максимальная степень n = 5.
• a = 6, b = 155552 → максимальная степень n = 0.