построй график функции уравнения: y = 4x'2 +4x +3

Задача: построить график функции y = 4x^2 + 4x + 3 (здесь 4x'2 понимаем как 4x^2).

Цель: понять и получить подробное решение.

1. Приведение к каноническому виду (вершина parabola)

• Начнем с y = 4x^2 + 4x + 3.
• Вынесем 4 за первые два члена: y = 4(x^2 + x) + 3.
• Дополним квадрат: x^2 + x = (x + 1/2)^2 - (1/4).
• Подставим: y = 4[(x + 1/2)^2 - 1/4] + 3 = 4(x + 1/2)^2 - 1 + 3 = 4(x + 1/2)^2 + 2.

Итак, каноническая форма: y = 4(x + 1/2)^2 + 2.

2. Вершина, ось симметрии и направление ветвей

• Коэффициент при квадратах a = 4 > 0, значит график открывается вверх.
• Вершина параболы находится в точке x = -1/2 (это координата по оси x минимума).
• Значение вершины: y = 2. Значит минимальное значение функции равно 2.
• Ось симметрии: x = -1/2.

3. Пересечения с осями

• Пересечение с осью y (x = 0): y = 4·0^2 + 4·0 + 3 = 3. Значит y-перехват равен 3.
• Пересечения с осью x (y = 0): решаем 4x^2 + 4x + 3 = 0. Дискриминант D = 4^2 - 4·4·3 = 16 - 48 = -32 < 0. Реальных корней нет, график не пересекает ось x.

4. Несколько характерных точек (для удобства построения)

• x = -2: y = 4·4 + 4(-2) + 3 = 16 - 8 + 3 = 11
• x = -1: y = 4·1 + 4(-1) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3
• x = -1/2 = -0.5: y = 2 (вершина)
• x = 0: y = 3
• x = 1: y = 4·1 + 4·1 + 3 = 11

Заметим: график симметричен относительно линии x = -1/2. Расстояние по оси x от вершины обратно в обе стороны даёт одинаковые значения y.

5. Что получится на графике

• График — вверхходящая парабола.
• Минимум в вершине: (-1/2, 2).
• Область значений (пределы на y): от 2 до бесконечности, диапазон y ∈ [2, +∞).
• Пересечение с осью y в точке (0, 3).
• Корней нет (график не пересекает ось x).

6. Как построить график на рисунке (пошагово)

• Постройте оси координат.
• Отметьте вершину: x = -0.5, y = 2.
• Проведите ось симметрии x = -0.5.
• Поместите несколько точек из пунктов 4 на график и соедините их плавной U-образной дугой, учитывая, что график открывается вверх.
• Убедитесь, что минимум действительно в вершине, а график не пересекает ось x.

Кратко итог:

• y = 4x^2 + 4x + 3 = 4(x + 1/2)^2 + 2
• Вершина: (-1/2, 2)
• Ось симметрии: x = -1/2
• Дискриминант для корней: D = -32, корней нет (нет пересечения с x-осью)
• y-перехват: (0, 3)
• Диапазон: y ∈ [2, +∞)

Если хотите, могу нарисовать текстовую или ASCII-версию графика, или помочь построить график в любом графическом приложении (Desmos, GeoGebra и т.д.).