Построй график функции уравнения: y = 4x'2 +4x +3

Задача: построить график функции y = 4x^2 + 4x + 3 (здесь 4x'2 понимаем как 4x^2). Цель: понять и получить подробное решение. 1) Приведение к каноническому виду (вершина parabola) - Начнем с y = 4x^2 + 4x + 3. - Вынесем 4 за первые два члена: y = 4(x^2 + x) + 3. - Дополним квадрат: x^2 + x = (x + 1/2)^2 - (1/4). - Подставим: y = 4[(x + 1/2)^2 - 1/4] + 3 = 4(x + 1/2)^2 - 1 + 3 = 4(x + 1/2)^2 + 2. Итак, каноническая форма: y = 4(x + 1/2)^2 + 2. 2) Вершина, ось симметрии и направление ветвей - Коэффициент при квадратах a = 4 > 0, значит график открывается вверх. - Вершина параболы находится в точке x = -1/2 (это координата по оси x минимума). - Значение вершины: y = 2. Значит минимальное значение функции равно 2. - Ось симметрии: x = -1/2. 3) Пересечения с осями - Пересечение с осью y (x = 0): y = 4·0^2 + 4·0 + 3 = 3. Значит y-перехват равен 3. - Пересечения с осью x (y = 0): решаем 4x^2 + 4x + 3 = 0. Дискриминант D = 4^2 - 4·4·3 = 16 - 48 = -32 < 0. Реальных корней нет, график не пересекает ось x. 4) Несколько характерных точек (для удобства построения) - x = -2: y = 4·4 + 4(-2) + 3 = 16 - 8 + 3 = 11 - x = -1: y = 4·1 + 4(-1) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3 - x = -1/2 = -0.5: y = 2 (вершина) - x = 0: y = 3 - x = 1: y = 4·1 + 4·1 + 3 = 11 Заметим: график симметричен относительно линии x = -1/2. Расстояние по оси x от вершины обратно в обе стороны даёт одинаковые значения y. 5) Что получится на графике - График — вверхходящая парабола. - Минимум в вершине: (-1/2, 2). - Область значений (пределы на y): от 2 до бесконечности, диапазон y ∈ [2, +∞). - Пересечение с осью y в точке (0, 3). - Корней нет (график не пересекает ось x). 6) Как построить график на рисунке (пошагово) - Постройте оси координат. - Отметьте вершину: x = -0.5, y = 2. - Проведите ось симметрии x = -0.5. - Поместите несколько точек из пунктов 4 на график и соедините их плавной U-образной дугой, учитывая, что график открывается вверх. - Убедитесь, что минимум действительно в вершине, а график не пересекает ось x. Кратко итог: - y = 4x^2 + 4x + 3 = 4(x + 1/2)^2 + 2 - Вершина: (-1/2, 2) - Ось симметрии: x = -1/2 - Дискриминант для корней: D = -32, корней нет (нет пересечения с x-осью) - y-перехват: (0, 3) - Диапазон: y ∈ [2, +∞) Если хотите, могу нарисовать текстовую или ASCII-версию графика, или помочь построить график в любом графическом приложении (Desmos, GeoGebra и т.д.).