6 3 — - —— + 4 = 0 x x-2

Задача: решить уравнение 6/x - 3/(x-2) + 4 = 0, с ограничениями x ≠ 0 и x ≠ 2.

Пошагово

1. Убираем дроби: умножаем обе стороны на общий знаменатель x(x-2). Применяем: (6/x)·x(x-2) = 6(x-2), (-3/(x-2))·x(x-2) = -3x, 4·x(x-2) остаётся. Получаем уравнение: 6(x-2) - 3x + 4x(x-2) = 0

2. Раскрываем скобки и приводим подобные: 6x - 12 - 3x + 4x^2 - 8x = 0 4x^2 - 5x - 12 = 0

3. Решаем квадратное уравнение: Дискриминант D = (-5)^2 - 4·4·(-12) = 25 + 192 = 217 Корни: x = [5 ± sqrt(217)] / 8

4. Проверяем ограничения: x ≠ 0 и x ≠ 2. Оба корня не равны 0 или 2, значит оба допустимы.

5. Численные значения (приближённо): sqrt(217) ≈ 14.731 x1 ≈ (5 + 14.731)/8 ≈ 2.466 x2 ≈ (5 - 14.731)/8 ≈ -1.216

Итого, решения: x = (5 + sqrt(217)) / 8 и x = (5 - sqrt(217)) / 8.

Дополнительная заметка (альтернативный метод): Сначала объединим дроби: 6/x - 3/(x-2) = [6(x-2) - 3x] / [x(x-2)] = 3(x-4)/[x(x-2)]. Уравнение становится 3(x-4)/[x(x-2)] + 4 = 0. Умножаем на x(x-2) и получаем 3(x-4) + 4x(x-2) = 0, далее та же математика даёт 4x^2 - 5x - 12 = 0 и те же корни.