Радиус основания цилиндра равен 9 см. Из середины отрезка ОО,, где точки О и 0, — центры соответственно нижнего и верхнего ос- нований цилиндра, проведён луч, пересекающий плоскость нижне- го основания в точке, удалённой от центра этого основания на 12 см. Этот луч пересекает образующую цилиндра в точке, удалён- ной от плоскости нижнего основания на 2 см. Найдите высоту ци- линдра.

Решение. Дано: радиус основания R = 9 см. Пусть нижнее основание лежит в плоскости z = 0, центр O = (0,0,0). Центр верхнего основания O' = (0,0,h), высота цилиндра равна h. Точка M — середина сегмента OO', следовательно M = (0,0,h/2). Через M проведён луч, который пересекает плоскость нижнего основания в точке A на расстоянии OA = 12 см от центра O. Это значит, что в плоскости z = 0 точка A имеет радиус-координаты 12: OA = 12. Луч пересекает образующую цилиндра в точке P на высоте z = 2 см (то есть расстояние от нижнего основания до P равно 2). Точка P лежит на боковой поверхности цилиндра, значит её расстояние от оси равно R = 9, то есть OP в проекции на плоскость z = const равно 9. Установим координаты: - O = (0,0,0), O' = (0,0,h), M = (0,0,h/2). - Пусть A = (12 cos θ, 12 sin θ, 0) — произвольная точка на окружности радиуса 12 в плоскости z = 0. - Вектор направления луча от M к A: A − M = (12 cos θ, 12 sin θ, −h/2). Параметризуем луч: L(t) = M + t(A − M), t от 0 до 1 даёт путь от M до A. Тогда координаты будут: - x = t·12 cos θ - y = t·12 sin θ - z = h/2 + t(−h/2) = h/2 · (1 − t) Условия задачи для точки P, лежащей на боковой поверхности, следующие: 1) z(P) = 2 ⇒ h/2 · (1 − t) = 2 ⇒ t = 1 − 4/h. 2) OP в плоскости z = 2 равен 9. В проекции на плоскость можно заметить, что расстояние от O до P равно √(x^2 + y^2) = √[(t·12 cos θ)^2 + (t·12 sin θ)^2] = t·12. Поэтому t·12 = 9 ⇒ t = 9/12 = 3/4. Теперь подставим t = 3/4 в выражение t = 1 − 4/h: 3/4 = 1 − 4/h 4/h = 1 − 3/4 = 1/4 h = 16. Ответ: высота цилиндра равна 16 см.