7.21. Развёртка боковой поверхности цилиндра является квадратом. Найдите угол между диагоналями осевого сечения цилиндра.

Дано: развёртка боковой поверхности цилиндра — квадрат. Обозначим радиус цилиндра как R, высоту как H, окружность как C = 2πR. 1) Так как боковая поверхность цилиндра развёрнута в квадрат, выполняется условие H = C = 2πR. Следовательно, в осевом поперечном сечении ширина прямоугольника равна 2R (диаметр цилиндра), высота — H = 2πR. 2) Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник со сторонами: a = 2R (горизонталь), b = H = 2πR (вертикаль). 3) Диагонали этого прямоугольника — две прямые с угловыми коэффициентами ±b/a. Угол φ между диагоналями удовлетворяет формуле для угла между двумя прямыми с угловыми коэффициентами m1 = b/a и m2 = −b/a: tan φ = |(m2 − m1) / (1 + m1 m2)| = |(−b/a − b/a) / (1 − (b^2/a^2))| = 2ab / (b^2 − a^2). 4) Подставим a = 2R, b = 2πR: tan φ = 2·(2R)·(2πR) / ((2πR)^2 − (2R)^2) = 8πR^2 / (4R^2(π^2 − 1)) = 2π / (π^2 − 1). 5) Следовательно, acute угол между диагоналями: φ = arctan(2π / (π^2 − 1)). 6) Приближённо численно: 2π ≈ 6.283185, π^2 − 1 ≈ 8.869604, отношение ≈ 0.7087, φ ≈ arctan(0.7087) ≈ 35.3°. Ответ: угол между диагоналями осевого сечения цилиндра ≈ 35,3°. (Противоположный угол между диагоналями равен 180° − 35,3° ≈ 144,7°, но обычно имеют в виду меньший — острый — угол.)