Упражнение 1 1. точка за промежуток времени мин совершила N = 120 колебаний. Определите период Т., и циклическую частоту в колебаний материальной точки. Delta*t = 1 Ответ: 0,5 ;…

Ниже подробные решения упражнений 1–7 по гармоническим колебаниям (уровень средней школы). Порядок и формулировки соответствуют поставленным задачам. Там, где в исходном тексте были допущены оговорки, пояснения приводятся явно.

1. Точка совершила N = 120 колебаний за Δt = 1 мин (60 с). Найдите период T и циклическую частоту (частоту) f, а затем угловую частоту ω.

• Период T определяется как T = Δt / N = 60 с / 120 = 0,5 с.
• Частота f = N / Δt = 120 / 60 с = 2 Гц.
• Угловая частота ω = 2π f = 2π · 2 = 4π ≈ 12,56 рад/с.

Ответ: T = 0,5 с; ω ≈ 12,56 рад/с; f = 2 Гц.

2. Уравнение колебаний: x = 5 cos(π t). Найдите амплитуду, период и частоту колебаний.

• Амплитуда A = 5 (единица зависит от исходной x; здесь — см).
• В форме x = A cos(ω t) видно, что ω = π рад/с.
• Период T = 2π / ω = 2π / π = 2 с.
• Частота f = 1 / T = 1/2 Hz = 0,5 Гц.

Ответ: A = 5 см; T = 2 с; f = 0,5 Гц.

3. Уравнение гармонического колебания: x = 0,15 cos(0,6π t + π/3). Найдите амплитуду, период и частоту.

• Амплитуда A = 0,15 см.
• Угловая частота ω = 0,6π рад/с.
• Период T = 2π / ω = 2π / (0,6π) = 2 / 0,6 ≈ 3,33 с.
• Частота f = 1 / T ≈ 0,30 Гц.
• Начальная фаза φ0 равна π/3 (дано в скобках).

Ответ: A = 0,15 см; T ≈ 3,33 с; f ≈ 0,30 Гц; начальная фаза φ0 = π/3.

4. Напишите уравнение гармонического колебания и опишите график, если амплитуда 7 см, частота 0,5 Гц, начальная фаза равна нулю.

• Частота f = 0,5 Гц → ω = 2π f = π рад/с.
• Амплитуда A = 7 см.
• Уравнение: x(t) = 7 cos(ω t + φ0) = 7 cos(π t) см (поскольку φ0 = 0).
• Период T = 1 / f = 2 с.

График: график будет синусоидой с амплитудой 7 см, периодом 2 с, начинаясь в момент t = 0 на максимуме x(0) = 7 см.

Ответ: x(t) = 7 cos(π t) см; график — гармоническое колебание с амплитудой 7 см и периодом 2 с (φ0 = 0).

5. Когда фаза колебаний равна π/3, смещение равно 1 см. Определите амплитуду и затем найдите смещение в момент, когда фаза равна 3π/4. Также найдите амплитуду колебаний.

• Пусть x(t) = A cos(ω t). Фаза φ = ω t.
• По условию φ = π/3 и x = 1 см → 1 = A cos(π/3) = A · (1/2) ⇒ A = 2 см.
• Значит, уравнение можно записать как x(t) = 2 cos(ω t) (см).
• Теперь для φ = 3π/4 найдём смещение: x = A cos(φ) = 2 cos(3π/4) = 2 · (−√2/2) = −√2 ≈ −1,41 см (округление ≈ −1,4 см).
• Амплитуда колебаний: A = 2 см (подтверждается из первой части).

Ответ: при φ = π/3, x = 1 см → A = 2 см; график x(t) = 2 cos(ω t). Смещение при φ = 3π/4: x ≈ −1,41 см (≈ −1,4 см). Амплитуда колебаний: A = 2 см.

6. Начальная фаза гармонических колебаний, происходящих по закону косинуса, равна φ0 = −π. Амплитуда A = 6 см, циклическая частота ω0 = 3π. Каково было смещение точки от положения равновесия в момент времени t = 0?

• Для гармонических колебаний с cos-законодателем x(t) = A cos(ω t + φ0).
• В момент времени t = 0 фаза равна φ0, поэтому x(0) = A cos(φ0) = 6 cos(−π) = 6 cos(π) = 6 · (−1) = −6 см.

Ответ: x(0) = −6 см.

7. Тело совершает гармонические колебания с амплитудой A и частотой f = 2 Гц. Пусть полная энергия колебаний равна E = 7,7 мДж. Найдите массу тела.

• Связь энергии и параметров ХО: E = (1/2) m ω^2 A^2, где ω = 2π f.
• Здесь f = 2 Гц → ω = 2π · 2 = 4π рад/с ≈ 12,57 рад/с.
• Без заданной амплитуды A невозможно однозначно найти массу m. Необходимо знать A (амплитуду) или иное дополнительное условие.
• Формула для массы: m = 2E / (ω^2 A^2).

Если, например, амплитуда A дана (скажем, A = 1 см = 0,01 м), то:

• ω^2 A^2 = (4π)^2 · (0,01)^2 ≈ (157,91) · 1e-4 ≈ 0,01579,
• 2E = 2 · 0,0077 = 0,0154,
• m ≈ 0,0154 / 0,01579 ≈ 0,98 кг.

Но без конкретного значения амплитуды A ответ не однозначен. Пожалуйста, уточните амплитуду A (в см или м), и я дам точное значение массы.

Итого по 7 пункту: нужна амплитуда A (или другая данная величина). Формула для массы: m = 2E / (ω^2 A^2) с ω = 4π рад/с.

Если хотите, могу проверить любую другую вариацию или привести компактную таблицу со всеми полученными значениями.