X²-xy+y²=63

Задача: x^2 - x y + y^2 = 63 Цель: понять решение подробно (для 9-го класса, алгебра). 1) Решение в вещественных числах (обобщённое решение) - Заметим, что x^2 - x y + y^2 можно переписать как квадрат и дополнительную часть: x^2 - x y + y^2 = (x - y/2)^2 + (3/4) y^2. - Тогда уравнение принимает вид (x - y/2)^2 + (3/4) y^2 = 63. - Введём замену, чтобы получится круг: пусть u = x - y/2, v = (√3/2) y. Тогда u^2 + v^2 = 63 — окружность радиуса √63. - Параметризуем окружность: u = √63 cos t, v = √63 sin t, t ∈ [0, 2π). - Обратно найдём x и y: y = (2/√3) v = (2/√3) √63 sin t = 2√21 sin t, x = u + y/2 = √63 cos t + (1/2) y = 3√7 cos t + √21 sin t. - Итого, все вещественные решения задаются параметром t: x = 3√7 cos t + √21 sin t, y = 2√21 sin t, где t — любое число. 2) Целочисленные решения (если требуется найти только целые пары (x, y)) - Пусть x и y — целые. Рассматриваем как квадратное уравнение по x: x^2 - x y + (y^2 - 63) = 0. Дискриминант: D = y^2 - 4(y^2 - 63) = 252 - 3y^2. Чтобы x был целым, дискриминант D должен быть неотрицательной и квадратной. - Ограничиваем y по D ≥ 0: 252 - 3y^2 ≥ 0 → y^2 ≤ 84 → |y| ≤ 9. - Проверяем значения y от -9 до 9. Там, где D = 252 - 3y^2 — квадрат, получаем целые x по формуле x = [y ± sqrt(D)]/2. - Найденные целые решения (12 пар): - y = 3: D = 225, sqrt(D) = 15 → x = (3 ± 15)/2 → x = 9, -6 пары: (9, 3), (-6, 3) - y = -3: D = 225 → x = (-3 ± 15)/2 → x = 6, -9 пары: (6, -3), (-9, -3) - y = 6: D = 144, sqrt(D) = 12 → x = (6 ± 12)/2 → x = 9, -3 пары: (9, 6), (-3, 6) - y = -6: D = 144 → x = (-6 ± 12)/2 → x = 3, -9 пары: (3, -6), (-9, -6) - y = 9: D = 9, sqrt(D) = 3 → x = (9 ± 3)/2 → x = 6, 3 пары: (6, 9), (3, 9) - y = -9: D = 9 → x = (-9 ± 3)/2 → x = -3, -6 пары: (-3, -9), (-6, -9) - Все целочисленные решения: (9, 3), (-6, 3), (6, -3), (-9, -3), (9, 6), (-3, 6), (3, -6), (-9, -6), (6, 9), (3, 9), (-3, -9), (-6, -9). Проверка: подставляете любую из пар в x^2 - x y + y^2, получаете 63. Если нужна помощь с конкретным способом решения (например, показать, как расписывать дискриминант или как построить параметризацию), могу разобрать более подробно.