Задача: найти периметр параллелограмма, если биссектриса одного угла делит сторону на отрезки 7 см и 14 см.
Ключевая идея: пусть параллелограмм ABCD, и биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E так, что BE и EC равны 7 и 14 см (порядок можно поменять — оба варианта обсудим). Тогда длина стороны BC равна BE + EC = 21 см, значит AD = BC = 21 см. Нужно найти AB.
Шаг 1. Связь BE и AB через координаты (упрощённо для школьной геометрии)
- Пусть A = (0,0). Пусть AB длины b и идёт вдоль оси x, так что B = (b, 0).
- Пусть AD имеет длину L и направление произвольное: D = (p, q) с q > 0, и C = B + D = (b + p, q). Тогда BC вектор равен (p, q) и его длина |BC| = L.
- Биссектриса угла BAD идёт из A в направление w, где w = u/|u| + v/|v|, где u = AB = (b, 0), v = AD = (p, q), и |u| = b, |v| = L. Значит w = (1, 0) + (p/L, q/L).
Уравнения пересечения AE с BC:
- Точка на биссектрисе: A + s w = s(1 + p/L, q/L).
- Точка на BC: B + t v = (b, 0) + t(p, q), где t ∈ [0,1].
Равенства координат дают две уравнения:
- s(1 + p/L) = b + t p
- s(q/L) = t q
Из второго уравнения (при q ≠ 0) получаем t = s/L. Подставляя в первое:
s(1 + p/L) = b + (s/L) p → s + s p/L = b + s p/L → s = b.
Значит t = b/L. Так что точка E разделяет BC пропорционально t; длина BE равна t|BC| = (b/L)·L = b.
Вывод: BE = AB. Поскольку BC = BE + EC = 21 см, AB равно либо 7 см, либо 14 см (чтобы BE и EC были 7 и 14 соответственно).
Шаг 2. Периметр
- AD = BC = 21 см.
- AB ∈ {7 см, 14 см}.
Периметр параллелограмма P = 2(AB + AD) = 2(AB + 21).
- Если AB = 7, то P = 2(28) = 56 см.
- Если AB = 14, то P = 2(35) = 70 см.
Ответ:
Периметр может быть либо 56 см, либо 70 см, в зависимости от того, какая из двух частей на BC равна 7 см (соответственно AB = 7) и какая — 14 см (соответственно AB = 14). Оба варианта допустимы для данной задачи.
