Y=⁵x-3 ———— 2 x(4-x)

Похоже, задача задана как y = (5x − 3) / [2x(4 − x)]. Если имелось в виду другое оформление (например, 5^x), скажи, и я переделаю решение. Ниже подробное решение для варианта y = (5x − 3) / (2x(4 − x)). 1) Область определения - знаменатель не равен нулю: 2x(4 − x) ≠ 0 → x ≠ 0 и x ≠ 4. - Следовательно, область определения: все действительные числа за исключением 0 и 4. 2) Нулевые значения функции (пересечение с осью x) - y = 0 тогда, когда числитель = 0: 5x − 3 = 0 → x = 3/5 = 0.6. - При x = 0 и x = 4 функция не определена, поэтому точек пересечения с осью y нет. - Следовательно, одна точка пересечения с осью x: (0.6, 0). 3) Вертикальные асимптоты - Вертикальные асимптоты там, где знаменатель 0: x = 0 и x = 4. - Поведение около них: - при x → 0+: знаменатель положителен и малого шага, числитель ≈ −3, поэтому y → −∞. - при x → 0−: y → +∞. - при x → 4−: числитель ≈ 17 > 0, знаменатель положителен, поэтому y → +∞. - при x → 4+: числитель > 0, знаменатель отрицателен, поэтому y → −∞. - Итого: вертикальные асимптоты в x = 0 и x = 4. 4) Горизонтальная асимптота - Степени числителя и знаменателя: числитель − линейный (степень 1), знаменатель − квадратный (степень 2). - При x → ±∞ функция стремится к 0. - Следовательно, горизонтальная асимптота y = 0. 5) Производная и монотонность (для понимания графика) - Обозначим N = 5x − 3, D = 2x(4 − x) = 8x − 2x^2. Тогда f(x) = N/D. - Производная: f'(x) = (N' D − N D') / D^2. - N' = 5. - D' = 8 − 4x. - Вычислим числитель: 5(8x − 2x^2) − (5x − 3)(8 − 4x) = 40x − 10x^2 − [−20x^2 + 52x − 24] = 10x^2 − 12x + 24. - Таким образом, f'(x) = (10x^2 − 12x + 24) / (D^2). - Дискриминант квадратика 10x^2 − 12x + 24: Δ = (−12)^2 − 4·10·24 = 144 − 960 = −816 < 0. Значит числитель положителен для всех x. Поскольку D^2 > 0 на всей области определения, то f'(x) > 0 для всех допустимых x. - Значит функция строго возрастает на каждом промежутке: (−∞, 0), (0, 4), (4, ∞). 6) Пробные значения и знак функции на промежутках - (-∞, 0): возьмём x = −1 → N = −8, D = −10, y ≈ 0.8 > 0. - (0, 3/5): возьмём x = 0.5 → N = −0.5, D ≈ 3.5, y ≈ −0.143 < 0. - (3/5, 4): возьмём x = 2 → N = 7, D = 8, y ≈ 0.875 > 0. - (4, ∞): возьмём x = 5 → N = 22, D = −10, y ≈ −2.2 < 0. - Таким образом, знак по интервалам: + на (-∞, 0), − на (0, 0.6), + на (0.6, 4), − на (4, ∞). 7) Частичное разложение (дополнительно, для удобства анализа интегралов и графика) - y = (5x − 3) / (2x(4 − x)) = 1/2 · (5x − 3) / (x(4 − x)). - Разложим (5x − 3)/(x(4 − x)) = A/x + B/(4 − x). Решив уравнение, получаем A = −3/4, B = 17/4. - Тогда y = (1/2)[ −3/4 · 1/x + 17/4 · 1/(4 − x) ] = −3/(8x) + 17/(8(4 − x)). - Это даёт альтернативный взгляд на график и поведение near осей. 8) Краткое резюме графика - Область определения: R \ {0, 4}. - Вертикальные асимптоты: x = 0 и x = 4. - Горизонтальная асимптота: y = 0. - Корень: x = 3/5. - Функция возрастает на каждом из трёх промежутков, но знак меняется в зависимости от промежутка: - на (-∞, 0): y > 0, - на (0, 0.6): y < 0, - на (0.6, 4): y > 0, - на (4, ∞): y < 0. - По всем направлениям график расходится к вертикальным асимптотам и стремится к 0 на бесконечности. Если хочешь, могу нарисовать график или разобрать альтернативную версию задачи (например, если имелось в виду y = (5^x − 3) / (2x(4 − x))). Просто скажи, какая именно форма нужна.