представить в тригонометрической и показательной формах числа: а) -3+4i б) 3(cos10° - i sin 10°) в) 1+ i * tg1

Ниже решения для трех чисел в тригонометрической и показательной формах. Поскольку цель — понять, я распишу пошагово.

1. a) z = -3 + 4i

• Модуль: r = sqrt((-3)^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = 5.
• аргумент (главный для полярной формы): φ — угол в полярной системе.
  • draw: точка (-3, 4) в квадранте II, угол относительно оси x: φ = π - arctan(|4/3|) = π - arctan(4/3).
  • arctan(4/3) ≈ 0.927295 rad, значит φ ≈ 2.214297 rad.
  • в градусах: φ ≈ 126.87°.
• Тригономическая форма: z = 5 [cos φ + i sin φ] = 5 [cos 126.87° + i sin 126.87°].
• Показательная форма (экспоненциальная): z = 5 e^{ i φ } = 5 e^{ i 2.214297 }.
• Коротко: z = 5 cis(126.87°) = 5 e^{ i 2.214297 }.

2. b) z = 3 (cos 10° − i sin 10°)

• Заметим: cos θ − i sin θ = cos(−θ) + i sin(−θ) = e^{−i θ}.
• Модуль: r = 3.
• Аргумент: φ = −10° (или 350°).
• Тригонометрическая форма: z = 3 [cos(−10°) + i sin(−10°)] (или 3 [cos 350° + i sin 350°]).
• Показательная форма: z = 3 e^{ − i 10° } = 3 e^{ − i π/18 } (потому что 10° = π/18 рад).
• Коротко: z = 3 cis(−10°) = 3 e^{ − i π/18 }.

3. c) z = 1 + i · tan 1

Здесь предполагаем, что 1 — в радианах (1 rad). Если бы 1 был в градусах, результат был бы иным из-за единиц. Рассуждаем в радианах.

• Обозначим t = tan 1 rad.
• Модуль: r = sqrt(1^2 + t^2) = sqrt(1 + tan^2 1) = sqrt(sec^2 1) = sec 1. Так как cos 1 > 0, sec 1 > 0.
• Аргумент: φ = arctan(t) = arctan(tan 1) = 1 rad (поскольку 1 ∈ (−π/2, π/2)).
• Тригонометрическая форма: z = sec 1 [cos 1 + i sin 1] (то есть r [cos φ + i sin φ] с r = sec 1 и φ = 1 rad).
• Показательная форма: z = sec 1 e^{ i · 1 }.
• Численно: tan 1 ≈ 1.55740772465, sec 1 ≈ 1.85081571768.
  • Проверка: z ≈ 1.8508 (cos 1 + i sin 1) ≈ 0.9999 + 1.5569 i, то есть близко к 1 + 1.557 i, что совпадает с 1 + i tan 1.

Итого по пунктам:

• a) -3 + 4i = 5 (cos 126.87° + i sin 126.87°) = 5 e^{ i 2.214297 }.
• b) 3 (cos 10° − i sin 10°) = 3 (cos −10° + i sin −10°) = 3 e^{ − i 10° } = 3 e^{ − i π/18 }.
• c) 1 + i tan 1 = sec 1 (cos 1 + i sin 1) = sec 1 e^{ i } (с числовыми значениями: r ≈ 1.8508, φ ≈ 1 rad).