5a²-3ab:50a²-18b²

Задача: (5a^2 − 3ab) / (50a^2 − 18b^2) Цель: понять, как упростить дробь за счёт factoring и сокращения. Шаг 1. Разложим числитель и знаменатель на множители - Числитель: 5a^2 − 3ab = a(5a − 3b). - Знаменатель: 50a^2 − 18b^2 = 2(25a^2 − 9b^2) = 2[(5a)^2 − (3b)^2]. Далее используем разность квадратов: (5a)^2 − (3b)^2 = (5a − 3b)(5a + 3b). Значит знаменатель равен 2(5a − 3b)(5a + 3b). Итого дробь записывается как (5a^2 − 3ab) / (50a^2 − 18b^2) = [a(5a − 3b)] / [2(5a − 3b)(5a + 3b)]. Шаг 2. Сокращение общего множителя Удобно сократить общий множитель (5a − 3b), но только при условии, что он не равен нулю (иначе исходная дробь была бы не определена). После сокращения получаем a / [2(5a + 3b)]. Шаг 3. Дефинитивные условия Чтобы выражение было определено и сокращение было допустимо, должны выполняться: - 5a − 3b ≠ 0 - 5a + 3b ≠ 0 (2 ≠ 0 всегда выполняется). Итак, упрощённая форма: a / [2(5a + 3b)] = a / (10a + 6b), при условии 5a − 3b ≠ 0 и 5a + 3b ≠ 0. Пример проверки (для уверенности): Пусть a = 1, b = 1. - Исходная дробь: (5·1^2 − 3·1·1) / (50·1^2 − 18·1^2) = (5 − 3) / (50 − 18) = 2/32 = 1/16. - Упрощённая дробь: a / [2(5a + 3b)] = 1 / [2(5·1 + 3·1)] = 1 / [2·8] = 1/16. Совпадает. Ответ: Упрощённая форма выражения: a / [2(5a + 3b)], при условии, что 5a − 3b ≠ 0 и 5a + 3b ≠ 0.