Задача · 9 класс Задача №3372992
А
А
площадь прямоугольного треугольника равна 722√3. один из острых углов равен 30°. найдите длину катета лежащего напротив этого угла
Задача: площадь прямоугольного треугольника S = 722√3, один острых углов равен 30°. Найти длину катета, лежащего напротив этого угла.
Решение шаг за шагом:
- Пусть треугольник прямоугольный, с углом A = 30° (против него лежит короткий катет). Обозначим
- a — катет, лежащий напротив угла 30° (то есть кратный x в пропорциях 30-60-90),
- b — другой катет (против угла 60°),
- c — гипотенуза.
- В треугольнике 30-60-90 стороны пропорциональны так: против 30° — x, против 60° — x√3, гипотенуза — 2x. Значит:
- a = x,
- b = x√3,
- c = 2x.
Площадь прямоугольного треугольника равна S = (1/2)ab. Подставим a и b: S = (1/2) · x · (x√3) = (√3/2) x^2.
По условию S = 722√3. Приравняем: (√3/2) x^2 = 722√3. Разделим обе стороны на √3: (1/2) x^2 = 722 → x^2 = 1444 → x = 38 (положительное значение).
Искомий катет — противоположный 30° углу, то есть a = x = 38.
Проверка: S = (1/2) · 38 · (38√3) = 19 · 38√3 = 722√3. Всё верно.
Ответ: 38.
