Найдите площадь параллелограмма в сантиметрах квадратных, если его диагональ, равная 8 см, перпендикулярна к стороне равной 14 см.

Ответ: 112 см² Пошаговое решение: 1) Обозначим стороны параллелограмма как вектор AB длиной 14 см и второй стороны AD = (x, y) в декартовой системе, где AB лежит по оси x. Тогда |AB| = 14, а |AD| = sqrt(x² + y²). 2) Диагонали параллелограмма: - AC = AB + AD = (14 + x, y) - BD = AB − AD = (14 − x, −y) Условие задачи: диагональ перпендикулярна к стороне AB (направление AB по оси x). 3) Перпендикулярность диагонали к AB даёт две возможности: - AC ⟂ AB: тогда скалярное произведение AC и AB равно нулю: (14 + x, y) · (14, 0) = 14(14 + x) = 0 ⇒ x = −14 Длину диагонали AC задаёт |AC|² = (14 + x)² + y² = 0² + y² = y². Так как |AC| = 8, имеем y² = 64 ⇒ |y| = 8. - BD ⟂ AB: тогда (14 − x, −y) · (14, 0) = 14(14 − x) = 0 ⇒ x = 14 Длина диагонали BD: |BD|² = (14 − x)² + y² = 0² + y² = y². Так как |BD| = 8, имеем y² = 64 ⇒ |y| = 8. 4) Площадь параллелограмма равна величине проекции вектора пересечения AB и AD: S = |AB × AD| = |det([AB, AD])| = |14 · y − 0 · x| = 14|y|. Так как |y| = 8, получаем S = 14 · 8 = 112. Ответ: 112 см².