найдите площадь параллелограмма в сантиметрах квадратных, если его диагональ, равная 8 см, перпендикулярна к стороне равной 14 см.

Ответ: 112 см²

Пошаговое решение:

1. Обозначим стороны параллелограмма как вектор AB длиной 14 см и второй стороны AD = (x, y) в декартовой системе, где AB лежит по оси x. Тогда |AB| = 14, а |AD| = sqrt(x² + y²).

2. Диагонали параллелограмма:

• AC = AB + AD = (14 + x, y)
• BD = AB − AD = (14 − x, −y)

Условие задачи: диагональ перпендикулярна к стороне AB (направление AB по оси x).

3. Перпендикулярность диагонали к AB даёт две возможности:

• AC ⟂ AB: тогда скалярное произведение AC и AB равно нулю: (14 + x, y) · (14, 0) = 14(14 + x) = 0 ⇒ x = −14 Длину диагонали AC задаёт |AC|² = (14 + x)² + y² = 0² + y² = y². Так как |AC| = 8, имеем y² = 64 ⇒ |y| = 8.

• BD ⟂ AB: тогда (14 − x, −y) · (14, 0) = 14(14 − x) = 0 ⇒ x = 14 Длина диагонали BD: |BD|² = (14 − x)² + y² = 0² + y² = y². Так как |BD| = 8, имеем y² = 64 ⇒ |y| = 8.

4. Площадь параллелограмма равна величине проекции вектора пересечения AB и AD: S = |AB × AD| = |det([AB, AD])| = |14 · y − 0 · x| = 14|y|. Так как |y| = 8, получаем S = 14 · 8 = 112.

Ответ: 112 см².