Вариант А2 1. Периметр параллелограмма равен 56 см. Найдите стороны параллелограмма, если сумма двух его сторон равна 20 см. 2. Сумма трех углов параллело-грамма равна 254°. Найдите углы параллелограмма. 3. B E C A F D Дано: ABCD — параллелограмм; BE = DF. Доказать: АECF — паралле-лограмм.

Ниже подробные решения по всем трём частям варианта А2. Я буду использовать стандартные обозначения: соседние стороны параллелограмма обозначим a и b (длина a и длина b), периметр P, углы A, B, C, D по порядку. 1) Периметр параллелограмма = 56 см. Найдите стороны параллелограмма, если сумма двух его сторон равна 20 см. - Обозначим стороны параллелограмма как a и b (adjacent sides). - Периметр: P = 2(a + b) = 56 ⇒ a + b = 28. - Условие во второй части: сумма двух его сторон равна 20 см. Обычно это означает a + b = 20. - Приведённые условия противоречат друг другу: 28 ≠ 20. Значит, данных недостаточно или они противоречат друг другу — решений нет. Если же задача опечатана и на самом деле сумма двух его сторон должна быть 28 (то есть а+b=28), то решение не уникально: любое пара значений a, b положительных, удовлетворяющая a + b = 28, подходит. Примеры: (a, b) = (10, 18), (14, 14), (8, 20) и т.д. В таком случае параметрически можно записать: b = 28 − a, где 0 < a < 28. Коротко по шагам: - P = 56 ⇒ a + b = 28. - Вторая часть условия говорит a + b = 20 — противоречие. - Следовательно, данных слишком мало или они несовместимы. При исправлении на a + b = 28 получаем бесконечное множество пар (a, b) с суммой 28. 2) Сумма трёх углов параллелограмма равна 254°. Найдите углы параллелограмма. - Пусть углы кольца по очереди A, B, C, D. Противоположные углы равны: A = C, B = D, и соседние углы supplementary: A + B = 180°. - Сумма трёх углов: A + B + C = A + B + A = 2A + B. - Так как B = 180° − A, получаем: 2A + (180° − A) = 180° + A. - По условию 180° + A = 254° ⇒ A = 254° − 180° = 74°. - Следовательно, C = A = 74°, B = D = 180° − A = 106°. Ответ: - Углы параллелограмма: 74°, 106°, 74°, 106° (по порядку A, B, C, D). 3) ABCD — параллелограмм; BE = DF. Доказать: AECF — параллелограмм. Уточнение по расположению точек E и F: E лежит на стороне AB, F лежит на стороне CD. Тогда BE и DF — это отрезки вдоль сторон AB и CD соответственно. Условие BE = DF даёт пропорциональное размещение точек на противоположных сторонах параллелограмма, что и приводит к параллелограмму AECF. Доказательство с векторами (наглядно и строго): - Пусть A — произвольная точка, AB вектор b, AD вектор d. Тогда B = A + b, D = A + d, C = B + d = A + b + d. - Пусть E лежит на AB, поэтому E = A + s b для некоторого s ∈ [0,1]. - Пусть F лежит на CD, параметризуем как F = C + t(D − C) = (A + b + d) + t((A + d) − (A + b + d)) = A + (1 − t)b + d для t ∈ [0,1]. - Условие BE = DF: BE = |B − E| = |(A + b) − (A + s b)| = |(1 − s)b| = (1 − s)|b|; DF = |D − F| = |(A + d) − (A + (1 − t)b −) − d| = |−(1 − t)b| = (1 − t)|b|. Следовательно, (1 − s) = (1 − t) ⇒ s = t. - Пусть s = t. Тогда: - AE = E − A = s b. - CF = F − C = [A + (1 − s)b + d] − [A + b + d] = −s b. Следовательно AE ∥ CF и |AE| = |CF|. - EC = C − E = (A + b + d) − (A + s b) = (1 − s)b + d. - AF = F − A = [A + (1 − s)b + d] − A = (1 − s)b + d. Следовательно EC ∥ AF и |EC| = |AF|. Так как противоположные стороны AECF равны и параллельны соответствующим сторонам, откуда следует, что AECF — параллелограмм. Итог по всем частям: - 1) В условиях задача несовместна (при заданной формулировке). При исправлении на a+b=28 получаем бесконечно много пар сторон, удовлетворяющих условию. Примеры: (10,18), (14,14) и т.д. - 2) Углы параллелограмма: 74°, 106°, 74°, 106°. - 3) При условии E на AB и F на CD и BE = DF пункт AECF образует параллелограмм.