√32cos² 5n/8-√32sin²5n/8

Задача: √32 cos²(5n/8) − √32 sin²(5n/8)

Пояснение и решение шаг за шагом (для понимания)

• Шаг 1. Упростим множитель. √32 = 4√2.

• Шаг 2. Введём одну переменную для угла. Обозначим θ = 5n/8. Тогда выражение становится: E = 4√2 (cos²θ − sin²θ).

• Шаг 3. Используем тождество cos²θ − sin²θ = cos(2θ). E = 4√2 · cos(2θ).

• Шаг 4. Подставим θ = 5n/8. 2θ = 2 · (5n/8) = 5n/4. Значит: E = 4√2 · cos(5n/4).

Итог: упрощённое выражение равно 4√2 cos(5n/4).

Проверка на примере: если n = 0, то E = √32 (cos²0 − sin²0) = 4√2 · (1 − 0) = 4√2, что совпадает с формой 4√2 cos(0) = 4√2.