Решить задачи

Ниже подроб solutions по всем задачам из изображения. Задачи рассчитаны для 10-го класса геометрии. По каждому пункту — пошаговое решение и ответ. 1) Площадь прямоугольника ABCD равна 48, найдите AB, если BC = 8. - Факт: площадь прямоугольника равна произведению соседних сторон: S = AB · BC. - Дано: S = 48, BC = 8. - Нахождение: AB = S / BC = 48 / 8 = 6. - Ответ: AB = 6 см. 2) В параллелограмме ABCD AB = 18 см, AD = 12 см, ∠BAD = 30°. Найдите площадь параллелограмма. - Площадь параллелограмма равна произведению двух соседних сторон на синус между ними: S = AB · AD · sin(∠BAD). - Дано: AB = 18, AD = 12, ∠BAD = 30°, sin 30° = 1/2. - Нахождение: S = 18 · 12 · (1/2) = 216 · 1/2 = 108. - Ответ: площадь параллелограмма = 108 см². 3) В ромбе ABCD проведена диагональ AC. Найдите угол ∠ADC, если известно, что ∠ACB = 42°. - В ромбе все стороны равны: AB = BC = CD = DA. Следовательно треугольник ABC является равнобедренным по основанию AC (AB = BC). - В равнобедренном треугольнике углы при основаниях равны: ∠BAC = ∠ACB = 42°. - В треугольнике ABC сумма углов: ∠ABC = 180° − (∠BAC + ∠ACB) = 180° − (42° + 42°) = 96°. - В ромбе противоположные углы равны, а суммарно соседние углы суммируются до 180°. Следовательно угол ∠ADC равен углу ∠ABC: ∠ADC = 96°. - Ответ: ∠ADC = 96°. 4) В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 17 см, высота, проведенная к основанию, 15 см. Найдите площадь треугольника. - Высота делит основание пополам. Полуоснование = √(боковая сторона² − высота²) = √(17² − 15²) = √(289 − 225) = √64 = 8. - Основание треугольника = 2 · 8 = 16. - Площадь: S = (основание · высота) / 2 = (16 · 15) / 2 = 240 / 2 = 120. - Ответ: площадь треугольника = 120 см². 5) Какие утверждения верны? (1–4 — верности можно проверить) - 1) Если диагонали четырехугольника равны, то он прямоугольник. - Неправильно. Пример: правильный равнобокий трапеции с равными диагоналями не обязателен прямоугольник. Следовательно, утверждение неверно. - 2) Если стороны четырехугольника попарно равны, то он параллелограмм. - Верно. Попарно равные стороны означают opposite стороны равны, что является признаком параллелограмма. - 3) Если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то он ромб. - Неверно. Диагонали могут быть перпендикулярны и у т. н. «китов» (и у некоторых других форм). Это не гарантирует, что все стороны равны, т. е. не гарантирует ромб. - 4) Диагонали прямоугольника являются биссектрисами его углов. - Неверно. В прямоугольнике диагонали равны и пересекаются, но не являются биссектрисами углов (за исключением случая квадрата). Коротко: верны утверждения 2; неверны 1, 3, 4. 6) Сторона ромба равна 10, а одна из его диагоналей равна 16. Найдите вторую диагональ. - В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят стороны пополам. Пусть d1 = 16, d2 — искомая. - Полу diagonалей образуют прямоугольный треугольник со сторонами d1/2 и d2/2 и гипотенузой = сторона ромба s = 10. - По теореме Пифагора: (d1/2)² + (d2/2)² = s². - Подставим: (16/2)² + (d2/2)² = 10² → 8² + (d2/2)² = 100 → 64 + (d2/2)² = 100 → (d2/2)² = 36 → d2/2 = 6 → d2 = 12. - Ответ: вторая диагональ = 12. 7) В прямоугольном треугольнике ABC катеты AC = 12 см, BC = 16 см, гипотенуза AB = 20 см. Найдите косинус угла A. - Угол A находится напротив стороны BC и примыкается к сторонам AB и AC. Косинус угла A равен прилежащей к углу стороны (одной из его катетов) делённой на гипотенузу: cos A = AC / AB. - Подстановка: cos A = 12 / 20 = 3 / 5 = 0.6. - Ответ: cos A = 3/5. Если нужно, могу привести и дополнительные альтернативные разборы или проверить каждое утверждение 1–4 более подробно с примерами контрпримеров.